C.SYNTETISERING
MED ENKLE IMPEDANSEMODELLER
Før vi går nærmere inn på den anvendelse som skal lede opp til dannelsen av inverteringsfilteret for dempning vil vi syntetisere seismogram for en enkel impedansemodell for å studere dempningsmodellene. Først finner vi frekvens og impulsresponsen for en isolert reflektor ved dempningsmodell 1. På denne måten får vi definert det vi kaller ankomstid som det punkt der impedansevariasjonen skjer. Da tar vi utgangspunkt i en impedansemodell der vi har kun en endring i det seismiske mediet, og at den isolerte pulsen reflekteres nøyaktig ved endringen. Tilknytningen til filterteorien er gitt ved punkt 1 i kap.4.7. På grunn av forbindelsen til viskoelastisk teori gir dette oss et godt bilde av de to viktige effektene som virker inn på en seismisk puls i viskoelastiske media. I kapittel 3.7. studerte vi disse effektene teoretisk. Den første effekten fjernet de høye frekvensene fra pulsen, og som vi så ble pulsen symmetrisk om pulssentret (som er det punkt der vi har impedanse-endring). Dette gjaldt når dempningsmodellen ikke hadde dispersjon. Den andre effekten gjaldt formendring av pulsen. Dette kom av dispersjonen i mediet. på fig.8.1 har vi plottet en isolert reflektor syntetisert ved Riccatiligningen for dempningsmodell 1. Vi ser amplitudespekteret ved siden av. Som vi kunne vente fra modell 1 har vi fatt en symmetrisk puls.
Fig.8.1 γ(t) – øverst
– og K(o,iw) nederst for en
reflektor med ankomst t = 0,324
Ved å introdusere flere impedanseforandringer,
vil vi få flere pulser reflektert der hver refleksjon skjer nøyaktig på impedanseendringen. På fig.8.2 og 3 har vi frekvens og
impulsresponsen til en 4 lags transitionell impedansemodell (se fig.4.3.b) for dempningsmodell 1 etter
1 iterasjon med Riccatiligningen. Da virker bare
absorpsjon og ikke multipler og transmisjonstap inn
på den seismiske rekken. Fig.8.2.a ser vi at vi får Gibbsfeo
Vi kan se effekten av
Gibbsfe
Fig.8.2 γ(t) – øverst
– og K(o,iw) nederst for en
4-lags transitionell modell
8.2
DISPERSJON OG DEMPNING – kausalitet - null fase
Når vi skal anvende de ulike dempningsmodellene, må vi ha full klarhet over hvordan dispersjon og kausalitet påvirkes av verdien for A(w) i 7.2.1. Denne pulsen kan diskuteres i lys av den seismiske dempningsregelen om pulsens ankomsttid, og mange forfattere har gjort dette.
Bl.a. definerer Trorey (1962)
reflektorens
Så lenge A(w) er konstant vil vi få symmetriske pulser. Dersom A(w) hadde variert med frekvensen, ville vi fått formendring av pulsen.
Fig.8.3 γ(t) for en 4-lags transitionell modell med A=0,98 og B=0,023
Vi ser at dempningsmodell 3 og 4 begge gir pulsen en bratt
kant foran fordi de høye frekvensene går fortest. Stigetiden for pulsen øker
med ankomsten. Denne pulsformen er bedre i overensstemmelse med data i kap.5
enn den i fig.8.1. men vi får også en annen ønsket effekt. Vi ser at
pulssentret forskyves mot tidligere ankomster. Dette gir deltapulsene en
ankomst som er fysisk realiserbar så lenge A(w)<1. Problemet er at de
relaksasjonstider som må legges inn i modell 3 og 4 for å oppnå denne effekt er
ikke fysisk realiserbare. Fig.8.4 viser en løsning med modell 2. Vi ser at alle
pulser er i null-fase slik som også var tilfelle for
modell 1. Diskusjonen om fasen og kausalitet er dermed
Fig.8.4 γ(t) for en 4-lags transitionell modell med modell 2 τ2=0,0035
8.3 OVERSIKT
Vi setter nå inn Q=88 i vår dempingsmodell og kjører Riccatligningen 1. iterasjon opp til 4 sekunder På figur.7.3.7
i kapittel 7 så vi hvordan Q=88 vil dempe en puls til ca 1/5 part av
opprinnelig verdi etter 1 sek i 1.iterasjon. Med Riccatiligningen
i 1 iterasjon får vi samme resultat som i Wangs benchmark data.fra kapittel 7.
Fig.8.5.a. Vi velger
B=0,0114 som gir Q=88 og en dempning 1/5 av opprinnelig verdi etter 1 sek.
Fig.8.5.b. Vi velger
B=0,0059 som gir Q=170 og en dempning 1/5 av opprinnelig verdi etter 2 sek.
Vi har nå fått en grei oversikt til å konvertere verdier fra en akustisk modell av havbunnen, anvende dem på et seismogram som tar hensyn til demping og sammenligne med data vi er sikre på. Fig.8.5.a viser 1. iterasjon med Riccatiligningen for Q=170. Vi kan sammenligne denne med tilsvarende fra Wang og se at vi får samme trace. Wang (2008) gir oss anledning til å gå videre med en slik sammenligning og se på dispersjon. Dispersjonen vil komme inn i vår fasefunksjon ved å velge A<>1.
Vi har gjort en beregning ved å velge A litt mindre enn 1 (A=0.98) og fått et resultat opp til 0.5 sek som kan sammenlignes med Wangs data.Veldig grovt kan vi si at vi ville kunne fått tilsvarende dispersjon for samme demping som over.
Figur.8.6.a. under viser resultatet opp til 4,0 sekunder. Blå graf gir reflektorer udempet. Rød graf gir med dempning og dispersjon.
Fig.8.6.b. Vi velger
B=0,0059 som gir Q=170 og A=0,098 som en dempning 1/5 av opprinnelig verdi
etter 2 sek og dispersjon helt kausal fra 2,0 sek.
Vi velger B=0,0114 som
gir Q=88 og A=0,098 som en dempning 1/5 av opprinnelig verdi etter 1 sek og
dispersjon helt kausal fra 4,0 sek.
Figur.8.7. Data med dispersjon fra Wang.
Figur 8.7 gir benchmark verdier fra Wang (2008) der dispersjon er inkludert. Vi ser at vårt valg av A=0,98 er noe lav verdi i forhold hva vi har av dispersjon for Q=88. Nedenfor, på fig.8.8.a har vi valgt A=0,97
Fig.8.8.b Vi velger
B=0,0114 som gir Q=88 og A=0,097 som en dempning 1/5 av opprinnelig verdi etter
1 sek og dispersjon helt kausal fra 2,0 sek. Og er i overenstemmelse
med Wangs data for dispersjon.
Fig.8.8.c. Vi velger
B=0,0114 som gir Q=88 og A=0,096 som en dempning 1/5 av opprinnelig verdi etter
1 sek og dispersjon godt kausal fra 1,5 sek. Og er i overenstemmelse
med Wangs data for dispersjon.
Fig.8.8.d. Vi velger
B=0,0114 som gir Q=88 og A=0,095 som en dempning 1/5 av opprinnelig verdi etter
1 sek og dispersjon godt kausal fra 1,0 sek. Og er i overenstemmelse
med Wangs data for dispersjon.
Figurene over viser at for å få kausal puls må dispersjonen økes når dempningen økes. Det er fordi pulsbredden øker med dempningen, og den må derfor forskyves lenger fra sitt initiale midtpunkt for økende dempning.
Robinson (1979) introduserte en dispersjonskvantitet som linket Q til dispersjonen med formelen:
(1,2)
μ har enheten ’mose’ ms/oct/s.og gir forskyvningen i ms for hvert sekund en frekvenskomponent beveger seg i mediet. For Q=88 får vi forskyvning 2,5 ms pr. sekund. Eter 4 sekunder har vi 10 ms forskyvning.
8.4 Demping
i TILPASNING TIL minimum fase
Skal vår seismiske metode inkludere demping slik det skjer i naturen må både filteret og signaturen være i minimum fase. I kapittel 7 har vi vist at i filteret kan minimum fase inkluderes på ulike måter. På slutten av kapittel 7 pekte vi også på at vi kunne endre pulsens ankomst ved å endre amplitydespekteret til filteret. Vi kom ikke inn på sammenhengen mellom graden av demping og pulsens ankomst. Men i praksis vil graden av demping bestemme hvor mye faseendring som skjer. På fig.8.9.a har vi valgt en minimumfase puls som initialbetingelse. Energien er konsentrert foran i pulsen og all energi er for positiv tid.
Når denne pulsen konvolveres med dempingfilterets impulsrespons i 1. iterasjon i Riccatiligningen, får vi fig.8.9.b som er i god overenstemmelse med fig.8.8.b etter 2 sekunder. (Q=88, A=0,97).
Fig.8.9.b. Dersom vi ser nærmere på den udempede og dempede pulsen etter 0,5 sekund (500 ms) ser vi at kausalitet er svært nær men ikke 100 % for denne ankomsten. Det kommer av at dempingsmodellen ikke er kausal for denne ankomsten selv om skuddpulsen er det.
Fig.8.9.c. Etter 1 sekund ser den langt bedre ut, men den er enda ikke 100 % kausal.
Fig.8.9.e. Etter 2.0 sekunder må vi kunne si at den korrekt på den måten at all energi er tilgjengelig for positiv tid.
Fig.8.9.f.Etter 2.0 sekunder med A=1 (ingen dispersjon)
8.5 Demping
i VIRKELIG minimum fase
Vi kan benytte en metode som bearbeider filterets amplitydespekter gjennom MATLAB-koden
nedenfor. Når vi har gitt et amplityde
spekter for filteret, kan vi erstatte små verdier i spekteret (amp) med en brøkdel av maksimumamplityden.
minamp=0.005*max(amp);
amp(amp < minamp)=minamp;
temp=fft(log(amp));
namp=length(amp);
namph=fix(namp/2);
temp=real(temp(2:nsamp)).*(1:nsamp-1)'/namph;
wav=ones(nsamp,1);
wav(2)=temp(1);
for ii=2:nsamp-1
wav(ii+1)=sum(wav(ii:-1:1).*temp(1:ii))/ii;
end
.
Etter 2 sekunder
Nå vil vi bruke en minimumfase puls som signatur og dermed få en helt korrekt dempingsteori. Øverst på figur 3 til venstre ser vi en minimumfase puls udempet. Like til høyre for denne er denne dempet ut etter 4 sekunder. Graf øverst til høyre viser pulsen dempet ut etter 4 sekunder (svart), og etter at den er inverst Q-filtrert.
Figur 3 nederst til venstre viser samme minimum fase puls dempet etter 1 sekund. Vi ser at effekten av demping er betydelig mindre enn på figuren over. Anvendelsen av det inverse filteret er gått svært bra på figuren nederst til høyre og vi har fått tilbake den opprinnelige pulsen.
8.5
OVERSIKT OG KONKLUSJON AV KAPITTEL 8.a
Vi har beregnet impulsresponsen til en enkel impedansemodell. I dette kapittel har vi antydet at dispersjonen kan få betydning seismogrammet, men som nevnt i kap.5 er det flere som neglisjerer den. Over små tidsområder har undersøkelser vist at dispersjonen har liten betydning. Vi konkluderer med at over området 0-0.6 sek. vil dempningsmodell 4 uten dispersjon som gir svært nøyaktig samme regneresultater som dempningsmodell l (og Kolskymodellen), gi et godt bilde av viskoelastisk dempning i marine sedimenter. Over større tidsområder 0-4.0 sek. Kan dispersjon spille inn. Vi kan sette opp en oversikt over dempningsreglene studert i dette kapittelet. Betraktning i kapittel 7 viser at dempingsmodell 3 og 4 kan gi et bilde av dispersjon, men vi kan utelate denne effekten i resten av kapittelet. Dermed kan vi konkludere med at modell 1, som er en tilpasset utgave av Kolskys dempningsmodell, kan brukes når vi skal syntetisere Riccatiligningen i den videre delen av oppgaven.
Notat om
dempningsmodeller med dispersjon.
Siden dempning (attenuasjon/absorpsjon) og dispersjon opptrer sammen i naturen vil vi måtte ta hensyn til begge effekter i en dempningsteori som skal være tilpasset reelle data. Vår anvendelse av modell 3 og 4 har innført begrepet formendring av den initielle pulsen. En svært god diskusjon av dette kan vi finne på linken nedenfor:
Q-filtering and absorption-dispersion pairs (from Costain
and Coruch’s book “basic theory of exploration
Seismology”).
Word-dokument: http://bki.net/ricc/xtra/qfilter3.doc
Html-dokument: http://bki.net/ricc/xtra/qfilter3.html
I denne artikkelen er det gjort beregninger med en dempningsmodell av typen modell 1 (Kolskys modell) der man tar utgangspunkt i en gitt attenuasjonskoeffisient (eller Q-verdi).Ved å anvende en Hilbert-transformasjon på denne får man en relasjon mellom absorpsjon og dispersjon som sikrer at dempningsmodellens impulsrespons blir kausal og at man får korrekt ankomsttid for reflektorene i seismogrammet. Dermed oppfyller man flere dempningsregler. Vi kan slå fast at modell 1 og modell 2 oppfyller en del dempingsregler og at modell 3 og 4 åpner for en diskusjon om flere regler da den trekker inn kausalitet. Men vi klarer ikke å velge parametre for disse modellene som sikrer kausalitet.
|
DEMPNINGSREGEL |
Modell l |
Modell 2 |
Modell 3 |
Modell 4 |
|
6. Minimum fase initialbet. |
ingen pulser til fredstiller |
|
|
|
|
9. Pulsformen |
enhetspuls symmetrisk |
som modell 1 |
likner observerte pulser med rett valg av parametre, men ingen regel er satt opp |
som modell 3 |
|
1.seismisk regel. ankomsttiden |
veldefinert men energi før ankomsten (dvs. ikke-kausal) |
som modell 1 |
Ankomsttid endres, men har ikke diskutert valg av parametre |
som modell 3 , men med større effekt |
|
11.Unøyaktigheter. |
Gibbs-fe |
Gibbs-fe |
Gibbs-fe |
Gibbs-fenomener/leakage |
|
|
|
|
|
|
8.4 OVERSIKT OVER DEMPNINGSREGLENE.
Vi har her tegnet en oversikt over dempningsregler som er kommet inn og som har relevans for seismikk og ikke bare for viskoelastisk teori..Vi har i tidligere kapitler sett hvordan viskoelastiske regler er blitt fulgt og at den generelle filterfunksjonen har fulgt disse i tilfredsstillende grad slik at det har vært mening i å anvende den på Riccatiligningen. I Kapittel 8 her hare vi trukket inn nye regler (seismiske) og sett at regelen om korrekt ankomsttid ikke sikkert er tilfredstilt, og derfor var det meningsløst å inkludere dispersjon i den generelle filterfunksjonen, selv om vi fikk dette til i den viskoelastiske delen av beregningene. Vi har derfor sett helt bort fra dispersjon ved dannelsen av det inverse filteret. Vårt neste spørsmål er: Hvilken mening er det å følge de reglene vi har studert til nå når Riccatiligningen benyttes til syntetisering og invertering