Obs! Artikkel er under omfattende endringer pr. februar 2011, og må ikke studeres som korrekt!

KAPITTEL 7 VISKOELASTISKE DEMPNINGSMODELLER

I dette kapittel vil vi tilpasse filterfunksjonen fra kap.3 til data i kap. 6 og studere viskoelastiske dempningsregler. Først vil vi studere teorien for de viskoelastiske modellene som benyttes. Deretter setter vi opp en generell tilpasningsprosedyre, og diskuterer hvordan modellene følger dempningsreglene. Etter tilpasningen vurderes modellene i et skjema.

Det er lagd en rekke matematiske modeller for å utrykke de attenuasjons og dispersjonseffektene fra indre friksjon vi får på bølger i viskoelastiske media studert i kapitlene foran. I kap.3 utledet vi Hortons generalisering av attenuasjonskoeffisienten og bølgetallet. Horton bygde sin artikkel på andre som er referert i hans artikkel. Når vi nå skal følge hans teori fra den generelle modellen til spesielle, begynner vi med så enkle modeller som mulig og gjør de kompliserte nok til å tilpasses de data som ønskes.Vi begynner med en relaksasjonstid i modulene og legger til flere etterhvert.

På fig.7.1. er vist en oversikt over modellene tatt fra Hortons artikkel.

7.1 Kommentar til Hortons modeller

Alle dempningsmodeller som utvikles i seismikk har en eller annen tilknytning til den såkalte Kolsky-modellen (1953). Dette kommer av at de parametre som modellen bruker er enkle å tilpasse fra et datasett. En videre dempningsteori består i ulike modifiseringer av Kolskys teori og matematiske tilpasninger til denne. Kolsky-modellen kan skrives på formen:

α(w) = (1/2cQ) w 7.1.0.a

der α er attenuasjonskoeffisienten, w er vinkelfrekvensen, c er fasehastighet og dempningsfaktor er Q. I tillegg til å gi et enkelt utrykk for attenuasjon, utledet Kolsky også et utrykk for fasehastigheten c med utrykket:

7.1.0.b

Der c_r er fasehatighet og Q_r er Q.verdien ved en referanse-frekvens w_r. Denne modellen er utviklet og tilpasset godt til eksperimentelle data.

Det finnes en relasjon mellom attenuasjonskoeffisienten og fasehastigheten som er viktig for de seismiske dempningsmodellene, og den innebærer at vi får en seismisk puls som er i såkalt minimum fase. En følge av dette kriteriet er at modellen også skal være kausal.

Vi kan sette opp en liste over de dempingsregler vi har definert hittil og se hvordan de kan utvikles av hverandre.

1. Tilpasningen av attenuasjonskoeffisienten til seismiske data skal være riktig for kompresjonsbølgen.

2. Tilpasningen av bølgetallet til seismiske data dvs. dispersjonsrelasjonen skal være riktig for kompresjonsbølgen.

3. Tilpasningen av attenuasjonskoeffisienten til seismiske data skal være riktig for skjærbølgen.

4. Tilpasningen av bølgetallet til seismiske data dvs.dispersjonsrelasjonen skal være riktig for skjærbølgen.

5. Dempningsmodellenes filterfunksjon skal være i minimum fase. Dette er for å hindre en ikke-kausal løsning.

6. Initialbetingelsen skal være i minimum fase eller null fase.

7. Den seismiske pulsen skal ha riktig ankomsttid.

Reglene over er gjeldende i den viskoelastiske teorien. De følgende regler vil gjelde i tillegg til de over når man skal utvikle teorien i seismikk:

8. Den seismiske teorien skal følge loven om energiens bevarelse.

9. Dempning på multiplene skal skilles fra dempning på primærene

10. Den viskoelastiske dempningsmodellen skal gi riktig dybdeavhengig dempning.

11.Transmisjonstapet skal skilles fra viskoelastisk dempning.
12.Multiplenes forsterkning skal skilles fra viskoelastisk dempning.

Vi vil ikke tilpasse skjærbølgen i dette kapittel. Men bare kompresjonsbølgen. Det kan vi gjøre ved å legge samme relaksasjonstider i både skjær og kompresjonsmodulen, og tilpasse til en generell deformasjonsmodul. Da er det nok å oppfylle regel 1 og 2. Vi tilpasser altså attenuasjon og bølgetall ved å velge verdier for Kolskymodellen og tilpasse modeller fra Hortons skjema til denne.

Det første vi kan utlede av (7.1.0.a) er at attenuasjonen er lineær med frekvensen. Det er dette Horton forsøker å tilpasse sine modeller til, og dette kan vi se i hans skjema på fig.7.1.

Den første modellen(ideal) gir det elastiske tilfellet. Modell 2 er Kelvin Voigt modellen som Nilsen og Gjevik anvendte på Riccattiligningen. Modell 3 er en videreføring av modell 2, og modell 4 en videreføring av modell 3. Disse modellene er tilstrekkelige til å tilfredsstille svært bra de fleste reglene i den viskoelastiske teorien. Et unntak er kravet om kausalitet som på samme måte som Kolskymodellen heller ikke oppfyller på den formen som er gitt i utrykk 7.1.0.b. Ursin og Toverud (2002) har vist at den type modeller som Horton presenterer ikke oppfyller denne regelen.

I linje 3 ser vi modellenes mekaniske diagram. Den elastiske modulen representeres ved en fjær (kapasitans i den elektriske analogien). Dette har en velkjent elektrisk analogi, der man lager elektriske kretser ved å kople motstandere og kapasitanser sammen. Å legge flere relaksasjonstider inn i modulen tilsvarer i kople en dashpot (motstand i den elektriske analogien). Flere relaksasjonstider utvider diagrammet med fjærer og dashpots. Analogien ser vi i diagrammene i linje 4. I linje 5 står det: "response to heaviside stress". Dette viser tidsutviklingen av forrykningen dersom vi benytter en spenning konstant i tiden i spenning-forrykningsrelasjonen. Spenningen defineres da som en heaviside step funksjon ved formelen:

H(t) = 0 t<0

1 t>0 7.1.1

Fra spenning-forykningsrelasjonen definert i kap.3.2. kan forrykningen som funksjon av spenningen finnes. Bland har gjort dette og fått løsningen:

N

e(t) = ∑ (1 - exp(-t/t. )) H(t) 7.1.2

i=1

Der t_i er relaksasjonstidene. Vi ser av ligningen og av linje 5 på figuren at relasjonen mellom spenning og forrykning har en asymptotisk utvikling. Når tiden går mot uendelig vil responsen for alle modellene falle sammen med responsen for den ideale. Her ser vi et matematisk uttrykk for tidsforsinkelsen nevnt i kap.3 som årsak til dempning i viskoelastiske media. Vi kan lage to nye dempingsregler ut fra den grunnleggende betraktning av spenning og forrykning. Siden dette er regler som ikke nødvendigvis står i sammenheng med de på listen over kan vi benevne dem med A og B:

1. Kompresjonsmodulen skal være riktig tilpasset
2. Skjærmodulen skal være riktig tilpasset.

Dette betyr at det skal være mulig å utlede attenuasjonskoeffisient og fasehastighet fra dem. (Vår Modell 1 og Kolskymodellen tilfredstiller ikke denne regel.) Linje 6 viser spenningforrykningsrelasjonen for skjærbølgen for modellene ut fra den generelle relasjonen i ligning 3.3.2 Vi får og tilsvarende spenning-forrykningsrelasjoner for kompresjonsbølgen for modellene, men disse er ikke tatt med i figuren.

Linje 7 gir modellenes komplekse moduler på grunnlag av de modulene vi har utledet i kap.3. Linje 8 gir modulenes grense når frekvensen gir mot uendelig. Linje 12 og 16 gir kompresjonsbølgens og skjærbølgens fasehastighet når frekvensen går mot uendelig. Vi ser at den for alle modeller øker med frekvensen, noe som er i overensstemmelse med dataene i kap.5. Linje 9-10 og 13-14 viser funksjonene A(w) og B(w).

I kap.3 ga vi attenuasjonskoeffisienten og bølgetallet en enkel form der disse verdiene var variable på en generell form med fasefunksjonen:

7.1.1

I fig.7.1. er de spesielle variabler for hver enkelt modell. De er også gitt separat for skjær og kompresjonsmodulen i overensstemmelse med at vi fant en separat attenuasjonskoeffisient og bølgetall for skjær og kompresjonsbølgen. Dette er de viktige funksjonene i modellene. Vi ser ellers i skjemaet en del relasjoner som er nødvendige for å regne ut A(w) og B(w).

Fig.7.1 Modifisert skjema for Hortons modeller

7.2. IMPULS OG FREKVENSRESPONS (FILTERRESPONS )

Kapitlene foran har vist at viskoelastisk teori er tilstrekkelig til å bestemme dempningen i Riccatiligningen for indre friksjon. Her i dette kapittel vil bruke teorien i kapittel 3 og studere viskoelastiske dempingsmodeller ut fra denne. Vi vil ikke gå nevneverdig inn på den seismiske teorien. I kapittel 3 ble filterfunksjonen gitt en generell form og denne tilknyttes nå de enkelte dempningsmodellene. Vi vil da tilpasse den generelle filterfunksjonen på grunnlag av forskjellige dempningsmodeller til dempningsdata fra kapittel 5. Frekvensresponsen til filterfunksjonen kan vi gi den generelle formen:

7.2.1

t’ angir filterets forsinkelse. Ved å Fouriertransformere dette uttrykket får vi filterfunksjonens impulsrespons for en deltapuls og ved å integrere filterfunksjonen over enhetspulsen får vi et utrykk for pulshøyden. Denne kan skaleres for å sammenlignes med seismogrammet. På fig.7.2. har vi tegnet disse funksjonene skjematisk for forskjellige tidsforsinkelser for modell 1 og modell2.

7.3 TILPASNING AV MODELLENE TIL EKSPERIMENTELLE DATA

Vi gar nå over til selve tilpasningsprosessen. I litteraturen er mye av dette gjort ved prøving og feiling. Under utarbeidelsen av denne oppgaven har vi lært oss noen regler for dette, og disse vil bli skissert her. En selvskreven regel kan være at man bør tilpasse riktig så tidlig som mulig i prosessen så man slipper å gå tilbake å korrigere for feil senere. Ofte kommer ikke feilen til syne for modellene anvendes på seismogrammet. Vi har da:

TILPASNING l.Vi begynner med å sette opp de konstante logaritmiske dekrementene funnet i kapittel 6 ved å midle tilpasningsfunksjonen til Hamiltons data og fra kapittel 5 i tabell 5.2.

TILPASNING 2.Vi studerer den enkleste dempningsmodellen vi kjenner som lett tilpasses attenuasjonskoeffisienten for kompresjonsbølgen(dempningsregel 1) for de logaritmiske dekrementer. Denne modellen vurderes mot flere dempningsregler og vi finner ut hvor god modellen er. Dette blir vår prøve-modell.(modell 1 ). Det er naturlig å velge Kolsky-modellen. Alle vurderinger skjer direkte ut fra lign.7.2.1.

TILPASNING 3.Vi vurderer så Hortons modeller. Disse kan anvendes på Riccatiligningen ut fra spenning-forrykningsrelasjonen og disse sammenlignes med vår modell 1. Også dette gjøres direkte ut fra lign..7.2.1 Attenuasjonskoeffisienten i Hortons modeller tilpasses så godt som mulig til attenuasjonskoeffisienten i modell 1. Vi kan samtidig studere andre dempningsregler for disse modellene men legger størst vekt på at attenuasjonskoeffisienten skal være riktig.

TILPASNING 4 Dersom noen av modellene gir dårlig tilpasning til attenuasjonskoeffisienten i frekvensomradet må vi også tilpasse i tidsområdet. Da benyttes impulsresponsen til sammenligning. På grunnlag av en slik sammenligning går vi tilbake til tilpasning 1 og tilpasser på nytt inntil modellene er godt tilpasset både i frekvens og i tidsområdet. Dersom analytiske beregninger er nyttige blir disse introdusert. Det kan bli aktuelt for eksempel om vi ønsker å beregne for hvilken frekvens vår dempingsmodell gir samme demping som modell 1.

TILPASNING 5.Vi anvender den best tilpassede modell på grunnlag av disse regler på seismogrammet

TILPASNINGS 6. Vi gjentar tilpasning 2-5 der vi tar hensyn til dispersjon.

7.4 UTFØRELSE AV TILPASNING 1-4.

Vi har midlet Hamiltons kurve i kap.6.1. Vi fikk disse verdier: .

δ = 0.023 leire

δ = 0.046 sand

Horton tilpasset ikke kompresjonsbølgen direkte slik vi har gjort her, men gikk veien om skjærbølgen slik vi gjør i avsnitt 7.5. Hortons tilpasning følges derfor noe modifisert i det vi konsentrerer oss om kompresjonsbølgen.

MODELL l. Den enkleste dempningsmodellen får vi ved A=l og B= δ/π lign. 7.2.1 Vi får da ligningen :

H (t’,iw) = exp(-iwt’ – (wδ/2π) t’) 7.4.1

Den kan ikke utledes fra en spenning forrykningsrelasjon og oppfyller derfor ikke det vi har kalt dempningsregel A og B, men den er et godt utgangspunkt for å vurdere Hortons modeller. Det er denne vi har kalt modell 1. Dette blir vår prøvemodell og referansemodell og er en dempningsmodell som i stor utstrekning brukes ved anvendelser. Den er identisk med Kolsky-modellen fra 7.1.0 for attenuasjonskoeffisienten. Fasehastigheten kommer ikke frem i modellen da modellen studeres i toveistid og ikke i rommet. (Hadde vi satt B = 0 ville den vært identisk med ”ideal”-modellen i Hortons skjema.) Attenuasjonskoeffisienten har vi tilpasset i leire og sand på fig. 7. 3 Vi har bare det logaritmiske dekrement i modellen som parameter slik at den blir helt lineær. Dempningsregel 1 er derfor oppfylt. Siden A=l har vi fra ligning 3.5.11 at fasehastigheten er konstant lik c₀. Siden fasehastigheten øker med frekvensen i de eksperimentelle data følger ikke denne modellen dempningsregel 2.

Det er begrenset hvor langt vi kan gå i anvendelse av denne modellen i den viskoelastiske teorien om spenning/forrykning, men det kan være nyttig å studere dens impulsrespons. Vi har den ved å Fouriertransformere 7.2.1.

H ₁(s’,t’) = 2/(δ t’) (1 + ( s’ 2 π / δ t’ ) ² ) ^{– 1} der s’ = t – t’ 7.4.2

Siden A=l i denne modellen blir filterfunksjonens impulsrespons symmetrisk. Mye kan utledes av denne. Den ikke-forsinkede filterfunksjonen h₁(t,t’) kan vi integrere over en enhetspuls ved å holde t’ konstant. Vi får da et uttrykk som kan kalles pulshøyden. Uttrykket gir impulsresponsens høyde (maksimalamplitude) som funksjon av t’. Det kan være nyttig å sammenligne pulshøyder for de ulike modellers impulsrespons.

h₁(t’) = 2/π arctan ( t_oπ /δ t’) der t_o er puls-bredden 7.4.3.a

Vi har også et utrykk for dempning fra indre friksjon som er mye brukt i seismikk. Vi kan ta amplityden til H(t’,iw) og integrere denne over alle frekvenser:

7.4.3.b

Der vi har innført Q-faktoren for dempning med relasjonen: δ = π/Q og t er toveistid i sekunder. At dempningen fra indre friksjon er proporsjonal med det inverse av tiden er noe vi vil kunne få bruk for når vi skal forsterke amplitydene på seismogrammet i kapittel 9.

Selv om 7.4.3.a. gir et enkelt utrykk for pulshøytiden til en deltapuls, kan vi også studere amplityden ved å se på de enkelte frekvenser. Da tar vi logaritmen til forholdet mellom amplityder med en bølgelendes avstand, henholdsvis H₀ og H₁ og får:

Ln(H₀/H₁) = δ f t 7.4.3.c

MODELL 2.Dette er den første modellen vi benytter fra Hortons skjema. Den kalles Kelvin Voigt modellen og er den samme som Nilsen og Gjevik anvendte på Riccatiligningen. Ved tilpasning av denne til våre data vil vi ikke følge Hortons fremgangsmåte helt nøye. I linje 7 i Hortons skjema ser vi at han bare gjør skjærmodulen kompleks for å legge inn dempning. Vi vil også gjøre kompresjonsmodulen kompleks, ved å legge de samme relaksasjonstider i begge moduler. Da får vi Kelvin Voigt modellen på enkleste form. Dette er og den form Nilsen og Gjevik har gitt modellen. Fortsatt blir det bare en parameter i dempningsmodellen. Den komplekse modulen får formen:

(k₀ + 4/3 μ₀) ( 1 – iwt₃) 7.4.4

Og vi får frekvensresponsen:

H₂(t',iw) = exp(-iwt’)exp( - (w²/2) t₃ t’) 7.4.5

og en fasehastighet: c= c₀ 7.4.6

Vi ser vi får en gaussisk respons på denne modellen og impulsresponsen får formen:

h₂(s’,t’) = (1/2π) sqrt (π/(bt’)) exp (-s’²/(bt’4)) der b=t₃/2 og der s' = t-t’ 7.4.7

Dette er funksjonen Nilsen og Gjevik fikk i inversjonen med Riccatiligningen. Dersom t₃ går mot null (ingen dempning) vil løsningen representere en deltapuls med ankomst t-t’ som vi har definert i utrykket 3.7.1 b i kapittel 3.

For å finne et greit utrykk for pulshøyden kan det være nyttig å se på sammenhengen mellom Gaussfunksjonen og error-funksjonen. Vi har:

7.4.8 a

Der h representerer pulsbredden og A en konstant. Funksjonen kan normaliseres slik at integralet fra minus uendelig til pluss uendelig blir lik 1 tilsvarende integralet av en deltapuls (3.7.1.a)

Dette gir en normalisert Gauss-funksjon:

Ved å bruke følgende bestemte integral:

Gauss-funksjonen blir null ved pluss og minus uendelig.

Error-funksjonen er det dobbelte av integralet til en Gauss-funksjon mellom null og x/h sqrt(2)

Relasjonen mellom den normaliserte gaussfordelingen og errorfunksjonen blir da:

Dersom vi integrerer denne over en enhetspuls får vi:

x

h₂(t') = ½ ∫ exp ( -r²/2) dr ₌ 2(erf(x)- .5) 7.4.8

-x

der h₂(t’) representerer pulshøyden for en enhetspuls med ankomst t’ og vi har med dette en mulighet til å tilpasse modell 2 til modell 1’s impulsrespons:

Vi gjør samme utregning som for utrykk 7.4.3.c over som gjaldt modell 1, og få et tilsvarende utrykk for Modell 2:

Ln(H₀/H₁) = (w²/2) t₃ t’ 7.4.8.b

Horton har kommentert linje 5 i sitt skjema for Kelvin Voigt. Han viser at en umiddelbar anvendt spenning ikke gir en umiddelbar forrykning. Modellen bryter derfor dempningsregel 10. Dette er ikke noe alvorlig mangel med modellen, og er sjeldent nevnt. På fig. 7. 3. ser vi at attenuasjonskoeffisienten er en funksjon av frekvensen i 2. potens. Dette er et brudd med dempningsregel 1.

Forskjellen på attenuasjonskoeffisientene i modell 1 og modell 2 er så stor at vi må anvende tilpasningsregel 4, dvs. tilpasse i tiden til impulsresponsen før vi kan oppgi en endelig relaksasjonstid. Dette kan vi gjøre ved prøving og feiling mellom modell 1 og modell 2 og måle pulshøydene inntil dempningsmodell 2 blir tilpasset optimalt til modell 1 både i attenuasjonskoeffisienten og impulsreponsen. Men ligning 7.4.8.b gir oss nå en mulighet til å gjøre dette direkte.

Da tar vi utrykkene : Ln(H₀/H₁) = δ ft for Modell 1 og Ln(H₀/H₁) =2π² (f²) t₃ t for modell 2. For hver frekvens får vi et forhold mellom logaritmen til frekvensresponsen ved H₀ og H₁og disse kan settes lik hverandre under tilpasning. Da får vi:

t₃ =δ(1/f)(1/2π²) 7.4.8.c

Ut fra et valg av δ kan vi velge hvilken frekvens f der modell 1 og modell 2 skal ha samme demping. På figur 7.1.b er det der graf for modell 2 krysser graf for modell 1.

Q	log.dec.	t3 v 236hz	t3 v 135	t3 v 60
27269	0,00011521	0,00000010	0,00000004	0,00000002
561	0,00559999	0,00000473	0,00000210	0,00000120
547	0,00574331	0,00000485	0,00000216	0,00000123
545	0,00576439	0,00000487	0,00000216	0,00000124
311	0,01010158	0,00000853	0,00000379	0,00000217
273	0,01150767	0,00000972	0,00000432	0,00000247
227	0,01383962	0,00001169	0,00000519	0,00000297
179	0,0175508	0,00001482	0,00000659	0,00000377
170	0,01847996	0,00001560	0,00000693	0,00000397
134	0,02344472	0,00001980	0,00000880	0,00000503

t3 relaksasjonstid	0,00002	0,000009	0,000005
f frekvens	f1=236	f2=135	f3=60

Fasehastigheten er konstant lik c₀. Dette er et brudd på dempningsregel 2 men vi har sett at for lavfrekvente bølger kan de forenklingene vi gjør i ligning 3.5.7 og 8 rettferdiggjøres og det er her dispersjon utelates..

Vi velger også andre verdier for relaksasjonstidene under. Attenuasjonskoeffisient som funksjon av frekvens for modell 1 og modell 2 i sand og leire er plottet på fig.7.2.a. Frekvensrepons (Normen) av H(t,iw) for de tilsvarende attenuasjonskoeffisienter på fig.7.2.b.

Modell 1 Modell 2

Sand	Leire	Sand	Leire
0,046 (Q=68)	0,023 (Q=136)	τ3 = 0,00035	τ3 = 0,00018

Tabell.7.1 Parametre for dempning for modell1 og modell 2

Til anvendelse bruker vi et lite tidsintervall og øker derfor dempingen kraftig for lettere å se effekten av den.0,072 blir koeffisient for leire og 0,144 for sand. Tilsvarende Q-verdier vil være 44 og 22 som er meget sterk dempning. (Regnet ut fra formel b=π/Q, der b er attenuasjonskoeffisient i den form den er oppgitt i tabell 7.1. For å bedre forstå relasjonen mellom attenuasjonskoeffisient og Q, se Sørsdals artikkel om dempning. http://bki.net/ricc/xtra/dampedwave.htm

Fig.7.2.a. Attenuasjonskoeffisienter for modell 1 og 2

Filterfunksjonens impulsresponsers for modell 1 (7.4.2) modell 2 (7.4.7) er plottet på fig.7.2.b for ulike tidsforsinkelser for og t3=0,045. Pulshøyder i origo er ikke regnet ut da begge formler går mot uendelig i null, men den er satt til en skalert verdi 1 for det udempede tilfelle.

Fig.7.2b.Impulsrespons for modell 1 og 2

Impulsresponsenes høyde finnes ved å integrere dem over en deltapuls for modell 1 og 2. Figur 7.1 viser en udempet pulsrekke (rødt). Modell 1 viser hvordan rekken dempes i leire og sand.

Fig.7.3.a gir en god overgang til seismisk teori. Rekken kalles en Dirac-comb-funksjon og kan betraktes som ankomster for primærer i en seismisk trase. Dette vil vi gå mer inn på i fig.8.1 i kapittel 8. For å finne analogien til viskoelastisk teori kan vi ganske enkelt regne ut de ulike filterfunksjoners impulsrepons (for modell 1 er denne utrykk 7.4.7) med den samme tidsforsinkelsen som enhetspulsene i Dirac-comb-funksjonen. På fig.7.1.d er filterfunksjon for modell 2 plottet med filterets tidsforsinkelse som parameter på en tidsakse som representerer toveistid på en seismisk trase.

.

Fig.7.3.b. Tidsforsinkede løsninger av filterfunksjonen som ankomster på en tidsakse med dempning for modell 1 B=0.072

Vi kan gjøre en omtrentlig sammenligning for vår demping med tilsvarende publisert i Wang (2008). I vårt oppsett av dempning i havbunnen. ser vi at vi får samme dempning på pulsrekken som i Wang’s benchmark data demper en puls til ca. 1/5 av opprinnelig verdi for Q=88. (Figure 7.3.c - figure 2,2 hos Wang). På fig.7.3.b. dempes pulsen fra 1 til ca. 0,2 i løpet av 0,5 sek. Dette vil tilsvare 1/5 av opprinnelig verdi for et sekund for halve dempingen (Q=88).

Fig.7.3.c. Bechmark data fra Wang viser at en enhetspuls dempes til 1/5 av sin opprinnelige verdi etter 1 sekund for Q=88

7.3 Kausalitet og formendring av pulsen

Fasehastighet

Fig.7.4.a .Undersøkelser har vist at fasehastigheten er en funksjon av frekvensen.

Frekvens i Hz

Figuren over (Fig.7.4.a) viser en fasehastighet c som varierer med frekvens. Dette får betydning for hvordan vår puls ser ut på seismogrammet. Vi har frem til nå brukt en enhetspuls som initialbetingelse i vår anvendelse av filteret 7.2.1. Når vi betrakter filteret i tidsdomenet vil enhetspulsen oppleves som en tidsforsinket tosidet dempet puls som spres ut på en positiv og negativ tidsakse. Det er bare den delen av pulsen som er i positiv tid som er fysisk realiserbar og som er kausal, men i numeriske beregninger kan vi bruke en tosidet puls.

Når denne pulsen anvendes som skuddpuls i seismogrammet vil den oppleves som en ikke-kausal ankomst som dempes ut med økende ankomsttid, og vil derfor bryte vår regel om kausalitet. Men selv om pulsen ikke er kausal er den i såkalt nullfase og dette er en pulstype som man bruker i seismikk i dag fordi pulsenergien konsentreres nøyaktig på ankomsten.

Null-fasen avhenger av at A(w) = 1 i 7.2.1 noe som gjelder både modell 1 og modell 2 og Hortons ideal modell. Dersom A(w) ikke oppfyller dette kriteriet vil pulsen endre form slik at energien ikke lenger konsentreres på adkomsten men kan komme før eller etter. Det er fordi fasehastigheten varierer med frekvensen vi får en slik pulsform. Dette vil vi se spille inn for modell 3 og modell 4. ( Se mer om dette under diskusjonen av modell 3)

MODELL 3. Denne modellen kalles modified Kelvin i Hortons skjema. I dag kaller vi den gjerne for Zener-modellen (standard linear solid – modell). Linje 3 viser at Horton har lagt en fjær til inn i skjærmodulen. Vi vil gjøre det samme med denne modellen som for modell 2 dvs. legge relaksajonstider inn i både skjær og kompresjonsmodulen, og vi vil bruke de samme relaksasjonstider i begge moduler. Da får vi en kompleks modul for kompresjonsbølgen:

7.4.9

Frekvensresponsen blir:

7.4.10

Q = (τ3 – τ4) / τ4

C₀ = 1 + QF (wt4))^½ 7.4.11

Frekvensresponsen kan også skrives på en annen form. Ursin og Toverud (2002) har studert flere dempingsmodeller og har fulgt en annen utregning for Zener-modellen og fått:

7.4.12

Der τ_{c =} sqrt(τ ₃ τ ₄) og Q_c =

Utrykk 7.4.12 skiller seg fra 7.4.10 først og fremst ved at vi opererer i rommet og ikke i tiden. Da kan vi få ut attenuasjonskoeffisient og fasehastighet direkte fra 7.4.12 som gjort i Ursin og Tuverud (2002):

7.4.13

7.4.14

Tilsvarende attenuasjonskoeffisient og fasehastighet for Kolskymodellen har vi fra 7.10 a og b:

7.4.15

7.4.16

Bruk av Tilpasningsregel 6

Tilpasningsregel 6 sier vi skal gå tilbake til regel 2 og følge prosedyren som er gjort hittil for attenuasjon også for dispersjon. Siden modell 1 ikke har med dispersjon må vi bruke Kolskymodellens utrykk for fasehastighet å sammenligne med. I følge Wang (2008) tilfredstiller ikke Kolskymodellen vår regel om minimum fase. Derfor må den modifiseres. Wang har gjort dette på en overbevisende måte ved å snu Kolskys og Futtermanns (1962) teori på hodet. Kolsky og Futtermann innførte en kritisk frekvens w_r i en utledning av 7.1.0 b. og for store Q_r kan utrykket skrives:

w_r skal være liten sammenlignet med den lavest målte frekvensen. Wang har innført en kritisk frekvens w_h som skal være den høyest målte frekvens. Dermed vil Kolskymodellen oppfylle dempingsregelen om minimum fase (regel 12). Vi kommer tilbake til dette litt senere i dette kapittel.

Når vi skal anvende de ulike dempningsmodellene gjennom tilpasningsregel 6, må vi ha full klarhet over hvordan dispersjon og formendring påvirkes av verdien for A(iw). Denne pulsen kan diskuteres i lys av den første seismiske dempningsregelen om pulsens ankomsttid, og kausalitet. Som en hjelp til en dypere forståelse av dette kan vi se på utrykk 7.4.12-16. Da har vi Ursin og Toveruds data å sammenligne med.

Ursin og Toverud har gjort beregninger med disse utrykkene for to valg av parametre:

Modell	C0	Q	τr ^-1	1
Kolsky	2000 ms	100	2 π 100	2
SLS	1990	2 π 100	2 π 100	3
Kolsky	2000	100	2 π 100	4
SLS	1985	84,71	6,75 100	5

Figur 7.4.b. viser grafen for attenuasjon Kolsky (blå) med verdier i andre linje i tabell 1og SLS (rød) i tredje linje i samme tabell.

Figur 7.4.c. viser grafen for attenuasjon Kolsky (blå) med verdier i fjerde linje i tabell 1og SLS (rød) i femte linje i samme tabell.

Modell 3 gir en umiddelbar reaksjon på en anvendt spenning. (se linje 5 i Hortons skjema) .Dette bemerket Horton selv. Dempningsregel 10 er derfor tilfredstilt. Attenuasjonskoeffisienten er ikke lineær. Dempningsregel 1 er derfor ikke fulgt, men fig. 7. 4.b og c viser at attenuasjonskoeffisienten ligger nærmere opp til den linære enn modell 2. Vi vil derfor ikke tilpasse i tiden slik vi gjorde for modell 2. Dette er en stor forenkling da det er vanskelig å finne et analytisk utrykk for impulsresponsen for denne modellen.

Attenuasjonskoeffisienten ligner på Biots attenuasjonskoeffisient. Den har og en kritisk frekvens i tråd med teorien om porøsitet i kapittel 5. Der ble det også innført en kritisk frekvens. Vi har funnet at denne kritiske frekvensen kan varieres slik at vi ved å øke relaksasjonstidene i modellen får den kritiske frekvensen lavere. Dette er et interessant aspekt ved denne modellen, da den gir et bilde av væskeinnholdet i sedimentene. Vi kan derfor si at modell 3 oppfyller dempningsregel 8 bra, uten at vi går mer inn på dette.

Men for å holde oss til tilpasningsregel 6, kan vi si at de følgende grafer viser at fasehastigheten varierer med frekvensen. Dette innfører dispersjon i modellen og vi har fått en modell som kan tilfredstille dempningsregel 2. Om den gjør det avhenger av at modellen kan gi en fasehastighet som øker med frekvensen for et bestemt valg av parametre.

Figur 7.4.d. viser grafen for fasehastighet Kolsky (blå) med verdier i andre linje i tabell 1og SLS (rød) i tredje linje i samme tabell.

Figur 7.4.e. viser grafen for fasehastighet Kolsky (blå) med verdier i fjerde linje i tabell 1og SLS (rød) i femte linje i samme tabell.

Ved å starte diskusjonen rundt utrykk 7.4.10 kan vi si at dispersjonen vil matematisk gi seg utrykk i A(w). Modell 3 er den første av modellen som har en A(w) <> 1. Det betyr at utrykket (1+QF(wt₄)) <> 1. Siden A(w) = 1+QF(wt₄) og dersom Q og F(wt₄) er positive vil konstanten som skal multipliseres med frekvensen i faseleddet 7.2.1 være mindre enn 1 og A(w) >1. Vi velger en verdi som ligger nær denne. Vi har valgt konstanten lik 0,98 på figur. 7.4.f. Vi får dette resultat ved å sette A(w)=1.0412 i utrykk 7.2.1. Det vil være mulig å tilpasse relaksasjonstider τ3 og τ4 til dette valget av A(w) ved hjelp av 7.4.10, men vi har ikke gjort det da vårt valg av A er tilstrekkelig for å vise det vi ønsker. Vi ser hvordan de enkelte reflektorer forskyves mot venstre, slik at de får en formendring som gjør at de kan ligne minimum-fase pulser i pulsform, men at pulssenteret får feil ankomsttid. Hadde konstanten vært større enn 1 (A(w) <1, ville de blitt forskjøvet andre veien og forhåpentligvis mot en korrekt løsning. (noe vi ikke klarer å gjøre med modell 3).

Vi kan derfor slå fast at introduksjonen av dispersjon i modellene skaper endringen. Så lenge A er konstant vil vi få symmetriske pulser, men så lenge A varierer med frekvensen, får vi formendring av pulsen. Dette er analogt med at vi får dispersjon på bølgen og kommer av at fasehastigheten er avhengig av frekvensen. Det er ikke mulig å gjøre et valg av relaksasjonstider for modell 3 som gir A(w)<1 slik at pulsene kan forskyves mot høyre.

Vi har da bevist noe Ursin og Toverud (2002) la frem: at modeller av typen modell 3 (Standard Lineær solids) SLS modellen ikke kan tilpasses en kausal modell.

Fig.7.4.f Formendring av pulser for modell 3 der faseleddets konstant er 0,98 (A(w)=1.0412)

Ved å studere Ursin og Toveruds beregninger av impulsrespons for utrykk 7.4.12 vil vi få bedre oversikt over dispersjon og kausalitet. Dette gjør vi i kapittel 8.

MODELL 4. er en komplisert utgave av modell 3. I modell 2 og 3 la vi samme relaksasjonstider i skjær og kompresjonsmodulen. Nå legger vi forskjellige relaksasjonstider i modulene og får modell 4 på samme form som i Hortons skjema. Modulen for kompresjonsbølgen blir da:

7.4.17

Frekvensresponsen blir:

7.4.18

Og fasehastigheten blir:

c = c₀ (l+PF(wt₂) + P'F(wt₄)) ^1/2 7.4.18

Vi fikk en attenuasjonskoeffisienten som lå tett opp til den lineære. Dempningsregel 1 er tilfredstilt, og vi trenger ikke tilpasse modellen i tidsdomenet. Modellens impulsrespons vil bli enda mer komplisert enn for modell 3 så dette ville vært vanskelig å fått til.

Vi ser av ligning 7.4.14 at fasehastigheten øker enda mer med frekvensen enn for modell 3 for tilpasning til samme attenuasjonskoeffisient. Vi vil derfor måtte forvente videre formendring av pulsen med denne modellen.

Dette er bare et eksempel for å vise fleksibiliteten i modell 4. Det store antall parametere som introduseres i modell 4 gjør den derfor til en svært anvendelig dempningsmodell. Vi kan også gi en god beskrivelse av vannets innflytelse pga. denne fleksibiliteten i modellen. Den kan nemlig bli lik modell 3 ved et valg av parametere, og modell 3 inkluderer vannets innflytelse godt. Da kan vi bryte lineæriteten i modell 4 ved å gjøre den lik modell 3 og på denne måten inkludere fluid loss effekten. (På den formen vi har tilpasset attenuasjonskoeffisienten i dette avsnittet har vi ikke tatt hensyn til vannet i modell 4.) Vi har ikke vist beregninger av modellene 3 og 4 utover attenuasjonen her, men vil henvise til Knut Sørsdal (2008).

Den viktige tilpasningsregel 1 har vi nå oppfylt og funnet modell 4 som en god modell til anvendelse på seismogrammet når det gjelder tilpasning til attenuasjon. Vi kan derfor gå rett over til kapittel 7 med anvendelsen av dempningsmodellen dersom vi ikke tar hensyn til dispersjon. I anvendelser vil modell 1 og modell 4 gi identiske seismogrammer slik at i praksis vil det være modell 1 som brukes.

7.4.Dispersjon i modell 3 og 4.

En foreløpig konklusjon på våre modeller må være at vi har klart å tilfredsstille dempningsregel 1 for kompresjonsbølgen og dempningsregel 3 for skjærbølgen. Vi har gått litt inn på dempningsregel 2 og 4 som gjelder dispersjon. Dempningsregel 5 om en filterfunksjon i minimum-fase går på det at det må være en relasjon mellom parametrene i modellene som gir korrekt attenuasjon samtidig med korrekt dispersjon slik det skjer i naturen. Det som da blir synlig på seismogrammet blir pulser som har korrekt ankomsttid – en dempningsregel vi har kalt regel 1 blant de seismiske dempningsreglene. Figur 7.4 over viser at vi ikke har klart å tilfredsstille denne regel med modell 3 for vårt valg av parametre. Vi har ikke klart å velge parametre som oppfyller regelen, og heller ikke tatt tid med å bevise at dette eventuelt ikke er mulig for modell 3 og 4.Ursin og Toverud (2002) har gjort studier av lignende modeller og kommet til en del interessante konklusjoner, men vi går ikke mer inn på disse her.

Sand Modell 1 har et log.dec. k=0,046
Modell 2	Modell 3			Modell 4
τ3	τ3	τ4	Q	τ2	τ4	P	P’
0,35 10 ^-4	0,002	0,001	1,0	0,4 10 ^-3	4,0 10 ^-3	0,0254	0,0254
Leire Modell 1 har et log.dec. k=0,023
0,18 10 ^-4	1,47 10 ^-3	1,45 10 ^-3	0,016	0,4 10 ^-3 0,8 10 ^-3	4,0 10 ^-3 8,0 10 ^-3	0,0127 0,0127	0,0127 0,0127

Tabell 7.2. Parametre for dempning for modell 3 og modell 4

Fig.7.5. Attenuasjonskoeffisenter for modell 1, modell 2 og modell 3

7.4. Diracs comb funksjon og frekvensresponsen og tanker om minimum fase

En rekke enhetspulser som har en innbyrdes avstand T i tidsdomenet som på figure.7.3.b har en enkel representasjon i frekvensdomenet som kalles Diracs comb-funksjons Fouriertransform.. En pulsrekkes frekvensrespons kan dermed utrykkes som en pulsrekke i frekvensdomenet med innbyrdes avstand 1/T mellom pulsene. På fig. 7.6. har vi plottet frekvensresponsen til pulsrekken på fig. 7.3.b. og fig.7.4. Ved å studere denne kan vi få litt informasjon om kasusalitet og dispersjon.

Fig.7.6.a

Modell 1. B=0.072

Vi har gjengitt de laveste frekvensene der vi ser en lineær dempning av frekvenstoppene.

Pulsavstanden på fig.7.3.b er T=0,12 s som gir en avstand mellom frekvenstoppene i frekvensresponsen på 12 Hz.

Fig.7.6.b

Modell 2. t_t3 =0,00035

Vi ser en kraftigere og ikke-lineær dempning av frekvenstoppene enn modell 1 for 2. og 3. frekvenstopp, mens 1. topp dempes mindre, noe som er i overenstemmelse med attenuasjonskoeffisienten på fig.7.2.a

Fig.7.6.c

Modell 3. Dempningen er ikke mulig å skilles fra modell 1 i frekvensresponsen, men vi ser en tydelig effekt av dispersjonen (fasehastighet som funksjon av frekvens – A(w) <> 1.)

Vi ser at energi dras mot høyre i frekvensresponsen for økende frekvens pga. dispersjon. Her ser vi en motsatt effekt av den som var i tidsdomenet for impulsresponsen.

Betraktning fra modell 3’s frekvensrespons

Modell 3 som har dispersjon og der pulsene ble dratt mot venstre i tidsdomenet viste at frekvensenes topper skyves mot høyre i frekvensdomenet i forhold til modell 1 og modell 2 (som ikke har dispersjon). Skal vi ha en modell som oppfyller dempingsregel 5, må vi ha en modell som drar frekvenser mot venstre i forhold til modell 1 og 2. Siden vi har vist at vi ikke kan velge relaksasjonstider som gjør dette, må vi justere våre modeller på en slik måte at dette skjer.

Wang (2008) har vist at dette kan gjøres for Kolsky-modellen på en enkel måte ved å korrigere utrykket 7.1.0.b. I stedet for å velge kritisk frekvens som en lav frekvens velger han den som den høyeste frekvens som benyttes. Av diskusjonen over ser vi at dette er en mulig vei å gå. Når man skifter kritisk frekvens høyere vil Kolskymodellens frekvensrespons skifte mot venstre, da kritisk frekvens er nevner i brøken.

Samme betraktning kan brukes på modell 3 og andre viskoelastiske dempingsmodeller. Dette blir gjort videre i denne oppgaven.

7.8 OVERSIKT OG KONKLUSJON AV KAPITTEL 7

Som en avslutning av dette kapittel er gitt en oversikt over dempningsreglene og vurderingen av de forskjellige modellene. Ut fra denne oversikten kan en modell til anvendelse på Riccatiligningen velges.

Vi må først vite hvilke dempningsregler som nødvendigvis må tilfredstilles for anvendelse på Riccatiligningen. Regel 1 og 3 om attenuasjonskoeffisienten er viktig fordi frekvensavhengig tap gir utydelige refleksjoner på seismogrammet. Dette frekvenstapet kan være betydelig, og vil kunne få oss til å tro at en eventuell tilfredsstillelse av andre dempningsregler bare gir små korreksjoner til seismogrammet. Men dette er ikke korrekt. En tilfredsstillelse av regel 2 og 4 gjør at vi får korrekt ankomst for reflektorene på seismogrammet og dersom ikke dette er oppfylt kan seismogrammet vise reflektorer som misviser hvor lagdelingene i realiteten befinner seg. Dispersjon er derfor også svært viktig i anvendelser. Oversikten viser at modell 1 og modell 4 begge følger regel 1 og 3 tilfredsstillende. Regel 2 og 4 om dispersjon og regel 5 om kausalitet og minimumfase har vi ikke fått god nok dokumentasjon på. Vi vil se bedre på dispersjon i neste kapittel når vi studerer pulsene i tidsdomenet. Neste kapittel vil derfor gi en bedre vurdering av dempningsmodellene når de anvendes på Riccatiligningen.

Pa figuren er gitt stikkord for hver enkelt dempningsregel som er studert til nå.

Dempningsregel	MODELL 1	MODELL 2	MODELL 3	MODELL 4
l.Att.koeff .komp.bølge	God lineær i frekvens	ikke lineær	ikke lineær men bedre enn modell 2	God lineær
2.Fasehast. komp. bølge	ingen relasjon	ingen relasjon	økende med frekvens	God økende med frekvens. bedre enn modell 3
3.Att.koeff . Skjærbølge	God linear i frekvens	ikke linear	ikke lineær men bedre enn modell 2	God lineær
4 . Fasehast . Skjærbølge	Ingen data
5.Kausalitet -minimumfase	Bare nullfase	Bare nullfase	ikke oppfylt	ikke oppfylt
6.Initialbet.	Bare nullfase	Bare nullfase	Ikke oppfylt	Ikke oppfylt

Seismisk Dempningsreg.	MODELL 1	MODELL 2	MODELL 3	MODELL 4
7.Korrekt ankomsttid - pulssenter	Bare nullfase	Bare nullfase	Ikke oppfylt	Ikke oppfylt