KAPITTEL 4 GENERING AV SYNTETISKE SEISMOGRAM
Dette
kapitlet tar for seg generering av syntetiske seismogram. Vi vil her se en
utvidelse av den viskoelastiske teorien utledet i kapittel 3. Før seismogrammet
genereres vil vi gi en teoretisk
behandling
av de nye dempningseffektene som spiller inn i bølgeforplantning i seismiske
media. I slutten av kapitlet gir vi en oversikt over nye dempningsregler på grunnlag
av disse effektene.
Når
en lydbølge treffer en grenseflate mellom to forskjellige media vil den undergå
refleksjon og refraksjon. Dette betyr at i tillegg til den innsendte pulsen får
vi to til. Den første (den reflekterte) vil gå tilbake i det første mediet, mens
den andre (den refrakterte eller transmitterte) fortsetter inn i det andre mediet.
Ved å måle amplitydene på disse bølgene kan vi definere refleksjonskoeffisienten
for mediet lik:
K
= R/D 4.1.1
R
er amplituden til den reflekterte bølgen og D amplituden til den direkte . Vi finner
videre en koeffisient for den transmitterte bølgen (transmisjonskoeffisienten) ved
relasjonen:
T
= D(1-K) 4.1.2
Vi
kan også definere refleksjonskoeffisienten på grunnlag av forskjeller i den
geologiske strukturen av det seismiske mediet. At de er forskjellige utrykkes
ved at de har forskjellig impedans. Impedansen definerer vi ved uttrykket:
ρc ρ
er tettheten og c bølgens fasehastighet i mediet
.
Dersom
vi genererer et signal på overflaten av et seismisk media, vil en seismisk
refleksjon bli generert ved hver geologisk grenseflate hvor det er forskjell i
impedanser.
I
denne oppgaven vil vi studere slike grenseflater på to måter. Den ene måten går
ut på å finne refleksjonskoeffisienten når impedanseforskjellene er gitt som en
kontinuerlig funksjon. I andre tilfelle har vi gitt refleksjonskoeffisientene
og vil finne impedansevariasjonen. I seismikk bruker man utrykkene
syntetisering og invertering. Ved syntetisering i seismikk oppgir man gjerne
impedansen over flere grenseflater som en kontinuerlig varierende funksjon av toveistiden.
Toveistiden er tiden det tar for signalet å gå ned til den reflekterende
grenseflaten og opp igjen.
Vi
sier vi får en ankomst av signalet. Signalets ankomst og amplitude kan da
defineres ut fra impedansevariasjonen, og vi får en rekke refleksjoner som
funksjon av toveistiden. Dette er tegnet på fig.4.1.
Fig.4.1.Refleksjonsseismogrammet
Dersom
det genererende signal er en enhetspuls blir det relative forholdet mellom
amplitydene til den reflekterte og den genererende pulsen amplitydene til refleksjonskoeffisientene,
dvs. en rekke skalerte enhetspulser som kalles primærer.
Primærene
skal i denne oppgaven følge de samme viskoelastiske dempningsreglene som deltapulsene
i kapittel 3, og på denne måten er den seismiske teorien knyttet til teorien
for dempning i viskoelastiske media. Vi bruker så primærene som et grunnlag og legger
til andre dempningseffekter som spiller inn ved pulsens forplantning i
syntetiseringsprosessen. Da får vi en tidsrekke vi vil kalle det seismiske mediets
impulsrespons - eller refleksjonsseismogrammet.
Den
fouriertransformerte av tidsrekken kalles mediets frekvensrespons- eller
refleksjonsresponsen. Alle seismiske tidsrekker har fellesbetegnelsen trase
(eng. trace). Ved å konvolvere refleksjonsseismogrammet med en av de seismiske pulser
definert i kapittel 3, får vi et syntetisk seismogram.
Dette
er tegnet horisontal på fig.4.l. Vi vil nå studere de effektene som virker inn på
dette syntetiske seismogrammet foruten de viskoelastiske effektene.
SFÆRISK SPREDNING er en dempningseffekt
som skjer i all bølgeforplantning. Sfærisk spredning gir den vesentligste av
svekkelsene av ankomstene i seismogrammet, men den er uavhengig av den
geologiske strukturen, så den er lett å korrigere for. Dempningen kommer av at
energien som først er konsentrert i et lite område vil spre seg over et større område.
Amplityden på bølgefronten blir derfor svekket uten at det er tale om dissipasjon.
Siden denne effekten virker uavhengig av den geologiske strukturen, vil den og
virke uavhengig av effekten av indre friksjon, og vi ser ganske enkelt bort fra
den i utviklingen av dempningsteorien.
TRANSMISJONSTAPET er den energien den
transmitterte bølgen mister pga. refleksjonen. Vi har allerede definert en transmisjonskoeffisient
og funnet at den er avhengig av refleksjonskoeffisienten. O`Doherty og Anstey
formulerte et greit prinsipp som gjaldt reflekterte og transmitterte bølger: ”More
up less down”. Dette betyr på enkleste form at jo større refleksjonskoeffisienter,
jo større transmisjonstap dvs. mindre energi blir transmittert. Tapet er følgelig avhengig av den geologiske
strukturen i mediet. ''More up-less down'' prinsippet er også et viktig
prinsipp om energiens bevarelse i syntetiske seismogram. Teoretisk kan vi si at
dersom vi ikke har indre friksjon kan vi ved å måle ankomster over et uendelig tidsrom få alt
som sendes ned opp igjen. Det betyr at all energi fra den initiale skuddpulsen blir
reflektert og målt. Transmisjonstapet kan være lite over en grenseflate, men
kan bli stort dersom det er flere flater. Dette tapet er likevel mindre enn man
skulle forvente ved mange refleksjoner, så
MULTIPPELREFLEKSJONER eller indre refleksjon
har vi når pulsen blir reflektert flere ganger før den blir registrert. Avgjørende
for multiplenes styrke er som for transmisjonstapet - refleksjonskoeffisienten - og også antall multipler som kommer
samtidig. Vi vil nå gå nærmere inn på transmisjonstapet og multiplenes forsterkning
ved teoretisk å studere seismiske bølger i syklisk og transitionell lagdeling.
Vi vil studere effektene også på refleksjonsresponsen. Da får vi et bedre bilde
av det hele.
Det
første som gjøres er å utvide begrepet dempning. Dempning i seismiske media
betyr at høye frekvenser svekkes fra den seismiske bølgen som går gjen
I
Vi
kan derfor dele dempningseffekten opp i viskoelastisk dempning (dissipasjon,absorpsjon)
og dempning fra lagdelingen. Denne siste
effekten kan forklares ved først å studere forskjell på syklisk og
transitionell lagdeling. Vi vil da ha både første ordens multipler i seismogrammet
og senere multipler (peg-leg multipler).
Når
den av transmisjonstapet sterkt dempede pulsen blir registrert som reflektor etter
å ha passert den sykliske lagdelingen, vil den registreres som en samling peg-leg-multipler
alle med samme polaritet som primæren, dvs. den ligner på en dempet deltapuls.
Dette betyr at spekteret av den registrerte pulsen forsterkes i den
lavfrekvente delen pga. multiplene og vi får frekvensavhengig dempning.
Dersom
lagdelingen er transitionell får vi samme transmisjonstap som for det sykliske
tilfellet ved samme antall lag. Men nå vil - som vi ser av fig.4.3.b. – peg-leg-multiplene
følge primærene med motsatt polaritet og den registrerte pulsen vil ikke miste
høye frekvenser.
Vi
får på denne måten et skille mellom sykliske og transitionelle lagdelinger i seismiske
media. Sykliske lag fjerner høye frekvenser i tillegg til indre friksjon og kalles
sterkt attenuerende. De transitionalle lagene derimot regner vi ikke som sterkt
attenuerende. I disse kommer dempningen bare av andre friksjon. En god oversikt
over skillet mellom syklisk og transitionell lagdeling og multippelforsterkning
finnes hos Waters(l978). Vi kan også kreve at vår seismiske metode skal
tilfredstillende skille mellom syklisk og transitionell lagdeling. Det betyr at
den skal vise hva som dempes fra indre friksjon og hva som dempes fra den
sykliske lagdelingen.
Denne
regel blir knyttet til energiloven i slutten av kapittelet.
Fig.4.2
Dersom alt fra den initiale skuddpulsen blir reflektert får vi et flatt spekter
– i tilfelle med en enhetspuls blir dette K=1. Transmisjonstapet vil svekke K
frekvensuavhengig- for eksempel til den prikkede linjen. Multiplene forsterker
opp spekteret mest for lave frekvenser.
Fig.4.3. Illustrasjon fra Waters
(). a) viser effekten fra syklisk lagdeling. Alle første ordens multipler har
positivt fortegn og adderes til trasen. Selv om de individuelle
refleksjonskoeffisienter kan være små, og multiplene individuelt enda mindre,
vil de summerte multiplene bli større enn primæren.
b) Transitionell lagdeling gir
alle refleksjonskoeffisienter positive. En negativ peg-leg bygger seg opp bak
en positiv primær.
Puls-tuning som gir
frekvensavhengig dempning
Feno menet puls-tuning er relatert til sammenhengen
mellom pulsens refleksjon fra topp og bunn i en tynn lagdeling. Den har en parallell i avsnittet om
multippelforsterkning i lagdeling over, men i dette tilfellet er det
lagdelingens virkning på primærpulsen som er avgjørende og multippelforsterkningen er ikke relevant. Tuning er kontrollert av
lengden på pulsen i forhold til to-veis tykkelsen av den seismiske lagdelingen.
I korthet kan vi si at pulsen deriveres
dersom lagdelingen er syklisk som på fig.
4.3.a og integreres dersom lagdelingen er transitionell som på fig. 4.3.b.
Når pulsen deriveres blir den mer høyfrekvent og når den integreres forsterkes
den lavfrekvente delen av pulsen.
Som referanse vil jeg oppgi en artikkel av Sørsdal (http://bki.net/ricc/xtra/wavelettune.doc) som er skrevet på grunnlag av et kapittel i Costain and Coruh (2004). Vi har to regler:
1. Når pulsen reflekteres fra en tynn syklisk lagdeling slik
at topp og bunn av intervallene i lagdelingen blir repre
2. Når pulsen reflekteres fra en tynn transitionell
lagdeling slik at topp og bunn av intervallene i lagdelingen blir repre
I dette tilfellet kan vi si at en transitionell lagdeling virker dempende på samme måte som absorpsjon. I denne forbindelsen ser vi en direkte anvendelse av ”more up – less down” prinsippet. Siden for eksempel den sykliske lagdelingen virker sterkt attenuerende på høye frekvenser som passerer lagdelingen, må det bety at den høyfrekvente energien reflekteres i lagdelingen. På samme måte vil den lavfrekvente energien reflekteres fra den transitionelle lagdelingen, mens den høyfrekvente passerers lagdelingen og reflekteres senere.
Vi kan se effekten ved å studere den Ricker-pulsen som ble
introdusert i Kapittel 3. Fig. 4.3.c. viser en original Rickerpuls med
Fig.4.3.c
Fig.4.3.d
Fig.4.3.e
4.2 DEMPNING SOM VARIERER MED DYBDEN.
I
innledningen av kapittel 3 nevnte vi at et økende trykk virker senkende på
absorpsjonen. Siden trykket i jorden øker med dybden vil vi derfor ha en gradvis
senkning av de viskoelastiske effekter med økende ankomsttid på seismogrammet, og
dette fe
Fig.4.4.
Multipler som har samme ankomst som primæren kan dempes annerledes da den kan
ha gått gjennom et lag med annen dempning.
Fig.4.4.
Multiplene forsterker pulsens amplityde, men gjør den også mindre høyfrekvent,
i det pulsen dras ut på tidsaksen
4.3 INVERTERING.
Invertering
av gitte seismiske tidsrekker (traser) er den viktigste seismiske metoden i dag.
Seismiske traser består av et ferdig seismogram som er lagd ved målinger i
naturen.
Seismogrammet
har derfor primœrer, multipler og dempning blandet sammen. Invertering vil si
at man fjerner uønskede effekter ved hjelp av prosesser .Ti1 slutt står man
igjen med en pulsrekke som tolkes som refleksjonskoeffisientene. På grunnlag av
disse kan vi finne impedansvariasjonen slik vi har forklart.
Invertering
er derfor det motsatte av syntetisering. Invertering med dempning er en svært
komplisert prosess. Vi har gjort dette i den numeriske deles av oppgaven der en
inverteringsprosess vi selv har satt sammen fra flere kilder er anvendt. Clarke(l968)
antyder at det er vanskelig å lage en korrekt inverteringsprosess som
inkluderer dybdeavhengig dempning. Dette her motivert oss til å lage dempning konstant
med dybden i den grad det er mulig. Men vi vil lage inverteringsprosesser både
for dybdeavhengig dempning og for dempning konstant med dybden. Vi kan sette
opp en oversikt over syntetiserings og inverteringsprosessen før seismogrammet
genereres analytisk. Dette er gjort på fig.4.5.
Figur 4.5
Oversikt over syntetiserings og
inverterings-prosedyren med Riccatiligningen
RICCATILIGNINGEN
Etter
å ha sett litt på dempningseffektene som spiller inn på bølgeforplantning i seismiske
media vil vi gå over til å syntetisere seismogram. Riccatiligningen som er
studert av Brekhovskikh (1960) vil bli benyttet både i syntetiserings og inverteringsprosessen.
Denne ligningen er kjent som en grei syntetiseringsmetode. Gjevik et al.(1976)
var de første som benyttet den til invertering.
Vi
vil nå følge Nilsen og Gjeviks artikkel som vi refererte til innledningsvis ved
å betrakte plane, longitudinale bølger. (Nilsen og Gjevik studerte en dilitasjon)
gjen
4.5 SYNTETISERING MED RICCATILIGNINGEN
Vi
betrakter en
= 
4.5.1
p = 
Ved
å anvende Fouriertransformasjonen definerts ved lign. 3.3.3-4 og samtidig innføre
den generalle viskoelastiske spenning-forrykningsrelasjonen definert ved
ligning 3.4.3 vil vi få de Fouriertransformerte
bevegelsesligningene:
= -
4.5.2
= 
4.5.3
Vi
husker fra lign.3.5.5 at fasehastigheten for kompresjonsbølger (og derfor også
plane longitudinale bølger) er gitt i det elastiske tilfellet ved:
= 
Y(z,iw) 4.5.5.
Der
Y(z,iw) er den komplekse modulen.
Ved
enhver dybde kan bølgefeltet deles inn i et direkte og reflektert bølgefelt D
og R. I et homogent medium vil fasehastigheten og alle relaksasjonstider i
modulen være konstant med dybden, og vi ser at D og R representerer et
nedadgående og et oppadgående bølgefelt. Dette gjelder også dersom mediet er
svakt inhomogent, slik at vi får:
P =
D + R 4.5.6.
4.5.7
Ved å benytte lign. 4.5.6 og 7 får vi fra
lign.4.5.2 og 5 etter en del regning:
4.5.8
4.5.9
Der
T(z) er en kompleks funksjon av z og w definert ved:
4.5.10
Vi multipliserer så den første av disse ligningene med faktoren –R/D og den andre med 1/D , legger de sammen og finner at forholdet K=R/D tilfredstiller Riccatiligningen.
4.5.11
Der
K er en kompleks funksjon av z og w. K kan tolkes som en refleksjonskoeffisient
som og har informasjon om faseforskjellen mellom det direkte og det reflekterte
signalet (kompleks refleksjonskoeffisient.)
Dersom
trykkpulsen vi benytter initielt er en deltapuls slik vi har definert den i
kapittel 3, blir K(0,iw) Fouriertransformasjonen av refleksjonsseismogrammet,
dvs. refleksjonsresponsen, slik vi har definert den. Vi har så videre:
4.5.12
Som
gjelder for de lavfrekvente bølgene som brukes ved seismiske målinger i fjell
og sedimenter. Vi har derfor:
4.5.13
Dette
kalles den relative impedansevariasjonen og er her en kontinuerlig varierende
funksjon av dypet. Vi kan skifte over til toveis gangtid:
4.5.14
Der 
er hastigheten for den
reflekterte bølgen i det elastiske tilfellet. Det er vanlig å velge den
elastiske hastighet som basishastighet og ikke gruppehastigheten ved vår
generelle viskoelastiske modell også i seismogrammet. Vi setter så 4.5.14 inn i
4.5.11 og transformerer over i toveistiden:
4.5.15
Tiden
for å nå frem og tilbake til nedre grenseflate i lagdelingen kalles så T og det
antas av 
og K forsvinner to
t>T. Da blir løsningen av differensialligningen 4.5.15:
4.5.16
Der
vi definerer fasefunksjonen ved:
4.5.17
Refleksjonsresponsen
til det reflekterende laget er:
4.5.18
Fasefunksjonen
kan, ved sammenligning med avsnitt 3.5 utrykkes ved funksjonene A(w) og B(w).
Vi får da:
4.5.19
Den
reelle delen av fasefunksjonen er identisk med attenuasjonskoeffisienten
definert ved ligning 3.5.10 transformert over i
tiden og den imaginære delen er den samme som er definert ved ligning
3.5.9 i tiden. Vi får derfor de samme koeffisientene for dempning og dispersjon
på Riccatiligningen som for pulser i viskoelastiske media.
4.6. REFLEKSJONSRESPONSEN VED SYNTETISERING
Den
komplekse refleksjonskoeffisienten ved hvilken som helst dybde kan regnes ved
en iterasjonsprosess ut fra ligning 4.5.16. Den første tilnærmelsen får vi
ved å neglisjere K på høyre siden av
ligningen.
4.6.1
Vi
starter integrasjonen av utrykket ved nedre grenseflate og integrerer oss opp
mot overflaten til vi har refleksjonsresponsen:
4.6.2
Den
eneste dempningseffekten som spiller inn på refleksjonsresponsen blir da indre
friksjon. Ved neste approksimasjon setter vi K(t,iw) inn i høyre side av
ligning 4.5.16 og integrerer på samme måte ved å iterere oss opp mot overflaten.
Nå får vi med multippelrefleksjoner og transmisjonstap. Vi tar altså den
refleksjonsresponsen vi fant i første approksimasjon, setter denne inn i
ligning 4.5.16 og gjentar dette helt til vi ikke har nevneverdige endringer i
refleksjonsresponsen.
4.7
INVERTERING MED RICCATTILIGNINGEN
Vi vil nå følge Nilsen og Gjeviks inversjonsprosedyre,og
legge en generell dempningsmodell inn i denne. Refleksjonsresponsen K(0,iw)
anses som kjent og γ(t) er refleksjonskoeffisientrekken som skal
bestemmes. Vi multipliserer ligning 4.5.18. med (l/2π)exp(iwt) og
integrerer med hensyn på w
4.7.1
der s´= t-1/A s
h er da en filterfunksjon som ved dekonvolvering vil gi den ønskede γ(t). Dette er den samme filterfunksjonen som ble definert i den viskoelastiske teorien i kap.3. Dekonvolveringsprosedyren har vi vist utførlig i den numeriske delen av oppgaven.
Den iterative inversjonsprosedyren startes ved å neglisjere det andre leddet på høyre side i ligning 4.7.1. og vi finner γ(t) ved dekonvolusjon. Slik finner vi refleksjonsseismogrammet. Deretter setter vi γ(t) og K(s,iw) inn i det andre leddet og itererer på nytt. Slik fjernes multipler og erstattes transmisjonstap ved å iterere og absorpsjon ved å dekonvolvere. Når vi ikke har nevneverdige variasjoner i γ(t) har vi fått refleksjonskoeffisientrekken. Ved svake refleksjoner blir bare absorpsjon utslagsgivende på seismogrammet og vi har:
4.7.2
Dette gir oss muligheten til på en enkel måte å studere
viskoelastisk dempning i Riccatiligningen. Refleksjonsseismogrammet uten
dempning er i dette tilfellet lik releksjonskoeffisientrekken uten dempning.Vi
legger dempning på refleksjonseismogrammet γ(t) i ligning 4.6.2 ved å
iterere ligningen en gang, og får den dempede refleksjonsresponsen. Denne
settes inn i første ledd på høyre side av lign.4.7.1, det andre leddet på høyre
side neglisjeres og vi får det dempede refleksjonsseismogrammet etter en
iterasjon i inversjonen som er lik den dempede
refleksjonskoeffisientrekken. Vi kan her vise hvordan teorien faller helt
sammen med teorien for dempningen på pulser i viskoelastiske media ut fra
ligningene 4.6.2 og 4.7.2.
4.7.3
4.7.4
Disse ligningene kan sammenlignes med ligningene for pulser i viskoelastiske media. Vi har da ved å sette opp ligningene fra kap.3.7 sammen med 4.7.2-4. og innføre konvolveringsnotasjon:
u(s´,t´) = h(s´,t´) 4.7.5
γ(t) = γ(t)
* h(t-s´,t ) 4.7.6
u(t',iw) = u(0,t) H(t',iw) 4.7.7
K(0,iw)
= γ(t) H(t ,iw) 4.7.8
Vi har vist at h er den samme filterfunksjonen som ble definert i den viskoelastiske teorien. Men selv om funksjonene er like blir anvendelsene litt forskjellige da den viskoelastiske teorien behandler et initialverdiproblem, og løsningen av Riccatiligningen er en tidsrekke. Vi ser at tidsforsinkelsene i filteret i ligningene 4.7.5-6 er forskjellige, mens vi i noen tilfelle kan få like løsninger.
Dersom vi har en deltapuls
som initialbetingelse i den viskoelastiske teorien vil den forsinkede
filterfunksjonen uttrykke løsningen av bølgeligningen. Dette er vist i kapittel
3. I Riccatiligningen kan vi velge en isolert reflektor i γ(t). Dersom denne har ankomsten t´ som i
filterfunksjonen er uttrykkt ved s'=t-1/A t´ vil den etter
syntetiseringsprosessen være lik impulsresponsen til det skalerte filteret.
Dersom h ikke endrer seg i tiden f.eks.ved å være lik en deltapuls kan vi
bestemme γ(t)
bare ved et valg av h initialt uansett
ankomsttid. Dette kommer av en velkjent regel om at et lineært tidsinvariant
system er fullstendig karakterisert ved sin initiale impulsrespons. Siden h
endrer seg med tiden må vi bestemme en h for hver ankomst.
Lign.4.7.7-8
viser frekvensresponsene når den Fouriertransformerte av pulsrekken
multipliseres med filterets frekvensrespons. Filtrene som anvendes vil ha
forskjellig faseledd i de to tilfellene, men dersom initialbetingelsen og
reflektoren er en isolert puls blir løsningene også like i frekvensdomenet.Vi
har regelen:
1 . En
puls som representerer en
reflektor med en ankomst t´ i γ(t) vil ved en
løsning av Riccatiligningen når bare indre
friksjon spiller inn, være
lik den skalerte
filterfunksjonens impulsrespons h(s´,t´).
K(0,iw) og filterets
frekvensrespons er også like.
Dette gir
oss tilknytningen til Riccatiligningen når vi studerer en reflektor av gangen. Hvordan
er det dersom vi har mange reflektorer i Riccatiligningen? Det er klart vi kan sette sammen flere pulser av forskjellige
ankomster t' og få en rekke, der vi behandler hver puls på samme måte som
ovenfor. Ved å sette sammen en uendelig rekke av slike pulser som reflektorer i
Riccatiligningen får vi repre
Fig.4.6 Forhold mellom filterrespons og seismogram
I dette
siste tilfellet blir ikke |K(0,iw)| og amplitydespekteret av filteret like.
|K(0,iw)| gir nå energien av hele refleksjonskoeffisientrekken og ikke bare av
en puls som over. Vi kan da sette opp regelen:
2. En
uendelig rekke pulser representert som reflektorer i γ(t)
med ankomster t´ og løst ved Riccatiligningen når bare indre friksjon spiller
inn, vil gi en impulsrekke som representerer alle løsninger av impulsresponsen
til den skalerte filterfunksjonen h(s´,t´). |K(0,iw)| og filterets
frekvensrespons blir forskjellige.
Vi har gjort en del numeriske beregninger av slike impulsrekker i kap
.8 og tegnet fig. 4.6 på grunnlag av disse regningene. Her ser vi forbindelsen
mellom initialverdiproblemet og Riccatiligningen greit forklart for tilfellet
uten dispersjon
Fig.4.6
gir oss en grei oversikt for overgang mellom kapittel 3 og kapittel 4. I
kapittel 3 er det tilstrekkelig å studere filterfunksjonen som en separat
matematisk operator. Anvendelser kan skje ved å regne filterets respons for en
tidsforsinket puls som gir en flat frekvensrespons i det udempede tilfellet og
en frekvensrepons som dempes ut for økende frekvens når dempning introduserers.
Når seismikk introduseres i kapittel 4, må vi introdusere en sekvens av to eller flere pulser der hver puls representerer en refleksjon ved en impedansendring i et seismisk medie. Fra signalteorien kan vi slå fast at første iterasjon i Riccatiligningen representerer et lineært system som er tidsinvariant i det udempede tilfelle og tidsvariant i det dempede. ( Nullpunkter kommer inn i spekteret i tråd med almen signalteori.)
4.8 SUMMERING OG KONKLUSJON AV KAPITTEL 4.
Vi har
studert teorien for nye
effekter foruten
viskoelastiske som virker inn på
seismisk bølgeforplantning. Vi
har og lagt den
generelle viskoelastiske modellen
inn i Riccatiligningen både for
syntetisering og invertering. Vi har
sett at Riccatiligningen kan knyttes til den
viskoelastiske teorien. Dette har ikke vært gjort før.
Nye
dempningsregler kan legges
til listen fra
kapittel 3, som den
seismiske dempningsteorien skal følge.
1. Den seismiske pulsen skal ha riktig ankomsttid.
2. Den seismiske teorien skal følge loven om energiens bevarelse.
3. Dempning på multiplene skal skilles fra dempning på primærene
4. Den viskoelastiske dempningsmodellen skal gi
riktig dybdeavhengig dempning. (viskoelastisk regel 7)
Loven om
energiens bevarelse er svært viktig i seismikk. Ved å dele den generelle
energiloven inn i to regler om å skille ut viskoelastisk dempning, har vi en
mulighet til å teste om loven blir fulgt. I den viskoelastiske teorien
er en slik test svært enkel da den viskoelastiske dempningen er av en lineær
karakter. (ikke forveksles med frekvens lineær dempning). Dette kommer av at den generelle filterfunksjonen er et
lineært filter.
I seismiske media derimot kan dempningen få en ikke-lineær karakter, da en rekke seismiske effekter er ikke lineære. Anvendelsen av et lineært filter i en slik prosess kan bli svært komplisert og studiet av energiloven vanskelig dersom vi ikke kan skille viskoelastiske dempning fra andre effekter. Vi har reglene:
2.a. Transmisjonstapet skal skilles fra viskoelastisk dempning.
2.b. Multiplenes forsterkning skal skilles fra viskoelastisk dempning.