Kapittel 3 Bølgeforplantning i Viskoelastiske media

 

I dette kapittelet vil vi studere hvordan viskoelastiske absorpsjonseffekter kan inkluderes i bevegelsesligningene for et elastisk medium og utvikle en generell teori om bølgeforplantning i viskoelatiske media. Senere i oppgaven vil vi gå fra generelle til spesielle modeller som tilpasses reelle data for absorpsjonseffekter.

 

I ideale elastiske media følger spenning og forrykning Hookes lov. Dersom virkelige media settes i vibrasjoner ved at lydbølger går gjennom dem, vil derimot noe av den elastiske energien fra spenningkreftenes arbeid overføres til varme ved dissipasjon, og Hookes lov gjelder ikke lenger. I væsker og gasser skjer denne overføringen av energi (absorpsjon) ved viskositet og ved termiske effekter pga. kompresjon i mediet, mens den er betydelig mer komplisert i faste stoffer. Vi kaller prosessen i faste stoffer indre friksjon.

 

I for eksempel sediment eller sand kommer den vesentligste del av absorpsjonen av at de små sand eller sedimentpartiklene gnis frem og tilbake mot hverandre og utvikler varme ved friksjon (makroskopiske absorpsjonseffekter), og fra mikroskopiske effekter som absorpsjon i hver enkelt partikkel pga. dislokasjoner i krystallstrukturen.

 

Det har lenger vært kjent at porøsitet i mediet virker inn på absorpsjonen. Dersom porene i mediet er fylt med vann er absorpsjonen minimal, mens den er maksimal ved et vanninnhold på 50-60 %. Vannet kan også gi frekvensavhengig dempning. Vannet nedsetter friksjonen som olje gjør det i kulelagre for noen frekvenser av den innsendte bølgen, mens for andre frekvenser vil den gi et tillegg i absorpsjonen pga. skvalpefenomener (sloshing effects) og viskositet mellom vannet og det faste mediet.

 

Trykket i mediet vil også virke inn på absorpsjonen. Trykket vil presse partiklene i mediet hardere sammen, slik at bølgene ikke setter dem i så stor bevegelse.

 

3.2 Definisjon av det elastiske problemet og korrespondanseprinsippet.

 

Vi vil nå finne bevegelsesligningene for et isotropt viskoelastisk medie utrykt ved partikkelforrykningene, og se at løsningene av disse blir to bølger som går gjennom mediet. De kalles kompresjonbølger og skjærbølger.

 

I det elastiske tilfellet er bevegelsesligningene løst f. eks. Av Kolsky (1963), mens Bland (1960) har løst det viskoelastiske tilfellet ved å benytte et korrespondanse prinsipp.

 

Dersom man har løst det elalstiske problemet, kan man finne det viskoelastiske ved å Fouriertransformere de elastiske spennings og forrykningsrelasjonene og bevegelsesligningene, erstatte de elastisk parametrene med viskoelastiske (komplekse) parametre, løse bevegelsesligningene og invertere de fouriertransformerte ligningene.

 

Vi definerer det elstiske problemet ved å la 9 spenningskomponenter virke på et infinitesimalt rektangulært paralellepiped, som vist på fig. 3.1.

 

 

Fig.3.1

Vi innfører så tensornotasjon for spenningskomponentene  der i er planet der spenningen virker og j er retningen av spenningen. Partikkelforrykningen utrykkes ved =(x1,x2,x3) der x1,x2 og x3 er aksekoordinatene i paralellepipedet.

I det elastiske tilfellet løser man problemet ved ligningene:

 

                                                                                                    3.2.1

                                                                                                      3.2.2

 

                                                                                      3.2.3

 

derivasjoner er definert ved                                                                   3.2.4

 

*  kalles kompresjonsmodul,  kalles skjærmodul,  er tettheten og  kalles dilitasjonen.

 

Vi går så over til det viskoelastiske problemet:

3.3. Viskoelastiske spenning-forrykningsrelasjoner.

 

Det er i spenning-forrykningsrelasjonen de viskoelastiske egenskapene til mediet kommer frem. I elastiske media vil forrykningene skje umiddelbart samtidig som spenningen anvendes. Eksperimenter har vist at det i viskoelastiske media er en tidsforsinkelse mellom spenning og forrykning som skyldes de dissipative effektene vi har nevnt i 3.1. Korrespondanseprinsippet sier at denne tidsforsinkelsen kan utrykkes ved å erstatte de elastiske modulene i problemet 3.2.1- 4 md komplekse, viskoelastiske og for å gjøre dette vil vi følge Blands teori noe modifisert. Hver modul behandles separat.

 

1. Skjærmodulen. Dersom det bare virker skjærspenninger på mediet har vi i det elastiske tilfellet en spenning-forrykningsrelasjon på formen:

 

                                                                                                          3.3.1

 

for det viskoelastiske tilfellet har man antatt at denne kan settes på formen:

 

                                             3.3.2

 

 og  kalles relaksasjonstider og er et mål for tidsforsinkelsen,  er den elastiske skjærmodulen og N og M er antall relaksasjonstider. Vi innfører så den Fouriertransformerte funksjon ved integralene:

 

                                                                                             3.3.3

der  kalles vinkelfrekvensen. Inversjonsintegralet blir:

 

                                                                               3.3.4

ved å anvende fouriertransformasjonen definert ved ligningene 3.3.3-4 og ligning 3.3.3 får vi:

 

                                                                 3.3.5

 

og en kompleks skjærmodul kan defineres:

 

                                                                        3.3.6

 

vi ser at dersom alle relaksasjonstider er lik null blir den komplekse skjærmodulen lik den elastiske.

 

1.Kompresjonsmodulen. den elastiske kompresjonsmodulen er definert som forholdet mellom trykket og volumendringen når mediet er utsatt for uniform hydrostatisk kompresjon. Vi kan skrive denne definisjonen på formen:

 

                                                                                               3.3.7

 

der  er det hydrostatiske trykket og  er dilitasjonen definert ved ligning 3.2.1

 

I det viskoelastiske tilfellet har man antatt at denne kan skrives på formen:

 

                                                      3.3.8

 

og ved å Fouriertransformere denne får vi en ligning analog med ligning 3.3.5 for det hydrostatiske trykket:

 

                                                                      3.3.9

 

og ved en kompleks kompresjonsmodul:

 

                                                                        3.3.10

 

Vi ser også her at når alle relaksasjonstider blir null blir den komplekse kompresjonsmodulen lik den elastiske:

 

3.4. Bevegelsesligningene i et viskoelastisk medium

 

For å løse bevegelsesligningene i et viskoelastisk medium kan som nevnt i avsnitt 3.2 korrespondanseprinsippet anvendes på det korresponderende elastiske problemet. Vi anvender derfor Fouriertransformasjonen definert ved avsnitt 3.3 på bevegelsesligningene 3.2.1-4 samtidig som vi erstatter de elastiske modulene med de komplekse definert ved ligning 3.3.6 og 3.3.10:

 

 

                                                                                      3.4.1

                                                                           3.4.2

 

                                                                3.4.3

 

Ved å sette 3.4.3 inn i 3.4.2 og sette inn for  og , får vi:

                                                     3.4.4

 

dersom denne deriveres med hensyn på  har vi:

 

                                                                     3.4.5

 

Denne ligningen har løsningen:

 

                                                      3.4.6

der A er en konstant

 

Ved å invertere denne ved Fouriertransformasjon 3.3.4 har vi:

 

                                               3.4.7

 

På denne måten har vi ved anvendelse av korrespondanseprinsippet fått en løsning av bevegelsesligningene i viskoelastiske media. Rotutrykket i ligning 3.4.7 multiplisert med vinkelfrekvensen kaller vi det komplekse bølgetallet.

 har vi definert som dilitasjonen i avsnitt 3.2. Den er et utrykk for kompresjonen i mediet og viser at plane kompresjonsbølger forplanter seg i et viskoelastisk medie med fasehastighet:

 

                                                                             3.4.8

 

                                                                        3.4.9

 

Vi kan også finne et utrykk for  skjærbølgen. Vi begynner da med å definere hvirvlingen i mediet ved utrykket:

 

                                                                                                            3.4.10

Ved å derivere ligning 3.4.4 med hensyn på  skifte indeksene i og k og substrahere har vi:

 

                                                                   3.4.11

 

Ved å løse denne og samtidig invertere, har vi:

 

                                              3.4.12

 

Vi har nå anvendt korrespondanseprinsippet på en annen løsning av bevegelsesligningene.  er en konstant antisymmetrisk tensor. Også her kan rotutrykket multiplisert med vinkelfrekvensen kalles et komplekst bølgetall.

 

Ligning 3.4.12 viser at plane skjærbølger forplanter seg i viskoelastiske media med fasehastighet:

 

                                                                                 3.4.13

 

og attenuasjonskoeffisient:

 

                                                                                3.4.14

3.5 Det komplekse bølgetallet

 

Horton (1959) har vist hvordan fasehastighteen og attenuasjonskoeffisienten kan få en form som er lett å tilpasse eksperimentelle data. Han har tatt utgangspunkt i det komplekse bølgetallet, som kan skrives på formen:

 

                                                                                                                               3.5.1                                   

Dette bølgetallet kan knyttes både til kompresjons og skjærbølgen. Realdelen kan skrives:

 

                                                                        3.5.2   

 

og imaginærdelen:

 

                                                                        3.5.3   

 

der                                                                     3.5.4   

 

*       kan knyttes til en generell kompleks modul som vi definerer ved . Denne kan knyttes til kompresjons og skjærbølgen. Realdelen og imaginærdelen definerer vi ved henholdsvis og .

 

For kompresjonsbølgen er  lik:

 

                                                                        3.5.5   

og for skjærbølgen:

                                                              3.5.6   

 

Stratton (1941) har løst ligningene 3.5.2-3 som funksjon av  og .

 

                                                                    3.5.7   

                                                                    3.5.8   

 

der . Dersom x<0.01 , noe som gjelder i seismisk bølgeforplantning, har vi

 

                                                                         3.5.9   

                                                                    3.5.10 

 

Vi får fasehastighet lik:

                                                                3.5.11 


3.6 Dempning og dispersjon av en bølgekomponent

 

Løsningene 3.4.7 og 3.4.12 av bevegelsesligningene i viskoelastiske media er begge av formen:

 

                                                                       3.6.1   

 

der  er attenuasjonskoeffisienten og  er bølgetallet. Vi kaller dette utrykket en Fourierkomponent, der hver komponent representerer en bølge som beveger seg i et viskoelastisk medium. Første eksponensial på høyre side i 3.6.1 kalles bølgens amplityde og den andre kalles bølgens fase. I sin teori har Bland formulert to prinsipper som gjelder bølger av denne formen (sinusformede bølger) i viskoelastiske media.

 

  1. I alle viskoelastiske media unntatt i helt elastiske media vil sinusformede kompresjonsbølger være dispersive og dissipative og attenuasjonen varierer med frekvensen.
  2. I alle viskoelastiske media unntatt i de som har en elastisk spenning-forrykningsrelasjon i skjærleddene vil sinusformede skjærbølger være dispersive og dissipative og attenuasjonen varierer med frekvensen.

 

Den fysikalske betydningen av disse prinsippene kan anskueliggjøres ved å betrakte sinusbølger som går inn i et stort homogent volum av  f.eks. fjell. Dersom vi studerer mønsteret fra partikkelforrykningene i et tidspunkt vil vi se en følge av alternerende kompresjoner og fortynninger, der avstanden mellom kompresjonene er en bølgelengde. Kompresjonen avtar fra bølgelengde til bølgelengde pga. dissipasjon, dvs. bølgeamplityden dempes.

 

At bølgene også er dispersive betyr at de ulike bølgelengder beveger seg med forskjellig hastighet. Den fysikalske betydningen av dette  er en fasehastighet avhengig av frekvensen. Dempning og dispersjon er de to effektene som virker inn på bølger i viskoelastiske media, og vi vil få en klarere forståelse av begge effektene videre i denne oppgaven.

 

 

Før bølgeteorien utvikles videre, vil vi gi en oversikt over vanlige måter å angi dempning på. Den kan angis på flere måter. Waters (1978) gir en god oversikt. Dersom vi kaller forholdet mellom en dempet og en udempet amplityde i ligning 3.6.1 k, vil dempningen i Desibel (dB) kunne defineres ved:

 

20 log k = dempning i dB                                                                                              3.6.2

 

I ligning 3.5.3 blir attenuasjonskoeffisienten dimensjonert til nepers/lengdeenhet. Dette er ofte gitt som mål for dempning i litteraturen. Sammenhengen mellom nepers og dB er gitt ved:

 

          DB = 8.686 nepers                                                                                                    3.6.3

 

Vi kan også definere dempning over en bølgelengde. Vi har da en amplityde fra ligning 3.6.1:

 

dersom vi tar den naturlige logaritmen til forholdet mellom forrykningsamplitydene i en bølgelengdes avstand har vi:

 

                                                                                3.6.4

 

Dette utrykket gir dempningen over en bølgelengde og kalles også det logaritmiske dekrementet. Dette er et svært vanlig mål for dempningen.

Et viktig spesialtilfelle av dempning er at attenuasjonskoeffisienten øker lineært med frekvensen. Dette gjelder nesten alltid i seismiske media. Vi har da en amplityde lik:

 

                                                                                                                3.6.5

der . Sammenhengen mellom  og det logaritmiske dekrementet ha vi ved  og siden  har vi . I dette tilfellet er derfor det logaritmiske dekrementet konstant dersom fasehastigheten er konstant. Ved å transformere amplityden over i tiden ved relasjonen x=ct får vi amplityden:

 

                                                                                                                 3.6.6

 

Flere forfattere knytter det logaritmiske dekrementet til en Q-faktor som er et nytt mål for dissipasjonen over en bølgelengde ved formelen:

 

 

Dette kan gjøres for alle bølger av formen 3.6.1.

 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


I fig. 3.2 har vi plottet en løsning av 3.6.1 med et konstant logaritmisk dekrement for to forskjellige frekvenser. Vi ser at når frekvensen av bølgen øker dvs. Bølgelengden avtar fra   til   vil dempningen over lengdeenheten øke, mens dempningen over bølgelengden er konstant. Dette er et spesialtilfelle av bølgeforplantning som faller inn under Blands prinsipper. Denne oversikten over dempningangivelse er tatt med fordi det er helt nødvendig med sikker kjennskap til disse tingene når man skal tilpasse modeller til eksperimentelle data.

 

 

 

3.7 DEMPNING AV SAMMENSATTE BØLGER - INITIALBETINGELSE.

 

Vi har hittil studert sinusformede bølger i viskoelastiske media og funnet at vi får en eksponensiell demping av bølgekomponentene. Ved teoretiske studier av seismisk bølgeforplantning har man benyttet pulser som er sammensatt av flere  Fourierkomponenter som korresponderer med løsningen av bevegelsesligningene i viskoelastiske media. Problemet blir da det velkjente initialverdiproblemet med bølgeligningen som flere forfattere har løst ved Fourieranalyse.

 

 

Vi vil nå følge Kogans (1961) fremstilling noe modifisert. Han tenker seg den seismiske pulsen som en funksjon u(x,t) som karakteriserer det seismiske signalet i en avstand x (observasjonspunktet) fra pulsens utgangspunkt (skuddpunktet). Vi kaller pulsen i skuddpunktet u(0,t). Denne pulsen er viktig i seismisk teori og kalles en initial skuddpuls. Den kan være definert over både positive og negative verdier, men dersom den skal være fysisk realiserbar må den bare defineres for positive verdier. Vi vil diskutere dette litt senere.

 

I denne oppgaven vil vi definere og benytte 2 pulstyper. Den første kalles en deltapuls og den andre en Rickerpuls i null fase. Teorien om deltapulsen tar vi fra Waters.

 

3.7.1 Deltapuls

 

Deltapulsen kan betraktes som grensen til en rektangulær puls i tiden, der funksjonen har en konstant amplitude over et tidsområde (bredden) , når produktet av amplituden og tidsområdet holdes konstant mens tidsområdet krympes til en infinitesimal verdi. Fordelen med denne pulsen er at vi får alle frekvenser representert i en løsning. I matematiske termer (for en impuls ved tiden t = τ ) får vi:

 

 

                                          deltapuls                                                                                               3.7.1.a

 

Enhetspulsen er en realistisk modell av deltapulsen med amplitude lik 1. Den har energien symmetrisk fordelt om t=0, som vi definerer som pulssenteret. Denne pulsen vil være sammensatt av et uendelig antall Fourierkomponenter med samme amplitude.

 

Deltapulsen kan også betraktes som grensen til ”error-funksjonen”:

 

                                                                                                                         3.7.1 b

 

Når h går mot null.

 

Fig.3.3 Deltapuls

 

På fig.3.3.a. ser vi deltapulsen for  ulike bredder. Vi ser at rektangelets flate er konstant mens pulshøyde og bredde varierer.  

På figur 3.3.b. viser en fremstilling av  deltapulsen basert på errorfunsjonen for ulike verdier av h når h går mot null.

 

En tredje – og svært nyttig i seismikk  - betraktning av deltapulsen er å se på dens frekvensinnhold av infinitesimalt små, men konstante amplituder av alle frekvenser. Waters har regnet ut dens tidsrepresentasjon som en (sin x)/x – type funksjon av formen:

 

                                                                                                               3.7.1 c

 

Der f(t) vil, etter som wo  går mot uendelig , gradvis gå mot en impuls av formen 3.7.1 a . Slik kan man se på deltafunksjonen som en puls som har lik amplitude for alle frekvenser. Grunnen til at dette er så nyttig er at deltapulsen kan brukes til å finne karakteristikken til jordens impulsrepons dersom input pulsen inneholder alle frekvenser med samme styrke. Avvik fra denne antagelse i målinger kan senere korrigeres for ved filtrering for å finne tilbake til det vi vet er input-pulsen gjennom dekonvolusjon.


Fig.3.4. Tilnærming til deltafunksjonen ut fra et konstant amplitudespekter opp til en frekvens wo

 

 

3.7.2 Rickerpuls i null-fase

 

Deltapulsen gir ikke en reell representasjon av en skuddpuls. En puls slik den forekommer i seismiske anvendelser har et begrenset antall frekvenser, og er derfor ikke så skarp som en deltapuls. Ricker-pulsen har en stor grad av likhet med en reell puls. Og den har et analytisk uttrykk i å kunne presenteres som den annen deriverte av error-funksjonen 3.7.1.b.

Vi kan sette et utrykk for Ricker-pulsen på formen:

 

f(t) =  (1 – 2 π2f0 2t2 ) exp( - π2f0 2t2)                                                                                          3.7.2.a

 

 

og med Fouriertransformert:

 

F(f) =                                                                                             3.7.2.b

 

Der f0  er Ricker-pulsens senterfrekvens.

Vi har plottet en Rickerpuls med senterfrekvens 50 Hz  på fig. 3.4. c og d. Siden pulsen er symmetrisk om sitt senter er den i nullfase.

 

Fig.3.4.c Ricker-puls med senterfrekvens 50 hz

 

 

Fig.3.4.d Amplityde-spekter av Ricker-puls med senterfrekvens 50 hz


3.7.3 Løsning for sammensatt bølge

 

Løsningen u(x,t) for den sammensatte bølgen får man ved å superponere uendelig mange Fourierkomponenter av typen 3.6.1.Vi begynner da med å Fouriertransformere initialbetingelsen u(0,t):

 

                                                                                                       3.7.3

Her har vi et utrykk for alle Fourierkomponentene i skuddpunktet. Når pulsen brer seg utover i forplantningsretningen vil hver amplitude dempes pga. indre friksjon, og ved å regne at all den initielle energien går til høyre for skuddpunktet får vi når vi integrerer komponentene over alle frekvenser:

 

                                                                   3.7.4

 

Det er vanlig å transformere dette utrykket over i tiden ved relasjonen x=ct´ der t´  er tiden fra skuddpunktet til pulsens ankomst i observasjonspunktet. Når vi setter inn for αr og αi  fra 1ign.3.5.9-10 i lign.3.7.3-4, og dersom c=co , får vi:

 

                                                           3.7.5                                                   

 

Ved å velge den elastiske hastigheten c0 som basis ved konvertering til tiden, får man en økende hastighet på alle Fourierkomponenter ved dempningsmodellens fasehastighetsrelasjon lign.3.5.11  i tilfelle av dempning.

 

Det andre integralet er en løsning av bølgeligningen i frekvensområdet og vi kan kalle den en frekvensrespons.Hele utrykket kan tolkes som en impulsrespons. Impulsresponsen kan gis en annen form ved å sette 3.7.3 inn i 3.7.5 og løse integralet ved konvolvering .Vi får da dersom A(w)=1:

 

                                                 3.7.6

to´ er pulsens initielle bredde for positive tider og to´ dens initielle bredde for negative tider. t´ gir den initielle pulsens ankomsttid slik vi har definert foran. Vi har uttrykt pulsens forplantning i mediet ved forsinkelsen t-s´ i faseleddet. I vårt tilfelle der A(w)=1 blir denne forsinkelsen lik for alle Fourierkomponenter og vi får en symmetrisk energifordeling om ankomsttiden i den observerte pulsen

 

Dersom A(w) ≠1 blir energifordelingen usymmetrisk og vi kan ikke tale om en veldefinert ankomstid for pulsen. I dette tilfellet vil fasehastigheten variere med frekvensen.

 

En svært enkel løsning får vi ved å innføre en filterfunksjon som den Fouriertransformerte i  konvolveringsintegralet. Vi får da:

 

                                                                                            3.7.7

 

Vi har her en filterfunksjon h(s`,t`) som skal konvolveres med initialbetingelsen u(0,t). Filterfunksjonen er en tidsforsinket utgave av et tidsvarierende filter h(t,t´). Hver verdi t´ i 1ign.3.7.7. gir en løsning av bølgeligningen. Konvolveringen er uavhengig av t´ da denne regnes konstant under konvolveringen. Vi kan også skrive uttrykket 3.7.7 på formen:

 

 

u(s´, t´) = u(0, t) h(s´, t´)                                                                                                           3.7.8

 

Dersom initialbetingelsen er en enhetspuls får vi enkle uttrykk for løsningen av bølgeligningen. Enhetspulsen har energien symmetrisk fordelt om skuddpunktet i en bredde t0.

 

Vi får da:

 

                                                                                      3.7.9

 

Dersom initialbetingelsen er en deltapuls får vi en løsning som er identisk med den forsinkede filterfunksjonen. Pulsens forplantning gjennom mediet uttrykkes da ved filterets tidsforsinkede impulsrespons:

 

u(s´, t´) =  h(s´, t´)                                                                                                                    3.7.10

 

Filterets frekvensrespons finner vi fra lign.3.7.5:

 

                                                                                 3.7.11

 

Vi ser nå at vi kan kalle 3.7.10  et definert filters impulsrespons og 3.7.11 er filterets  frekvensrespons. Begge uttrykkene kan betegnes ved filterresponsen. I teorien benyttes de samme definisjonene med en deltapuls som initialbetingelse. Begge utrykkene gir løsningen av bølgeligningen som en funksjon av tid og frekvens og de har energien fordelt både over positive og negative verdier.

 

3.8 FILTERFUNKSJONEN OG LØSNINGEN AV BØLGELIGNINGEN

 

Vi kan få et godt bilde av løsningen ved å studere filterfunksjonen separat. I teorien om den initiale skuddpulsen viste vi hvordan den kunne defineres både over positive og negative verdier. Dette gjelder også filterfunksjonen vi har definert ovenfor. Den kan betraktes som en operator definert i tid og i frekvens.

 

Vi skiller nå mellom to typer pulser og operatorer, ensidige og tosidige. Ensidige operatorer og pulser kalles de som bare er definert for positive verdier og er fysisk realiserbare.

 

Tosidige operatorer derimot er definert både for positive og negative verdier, og er ikke fysisk realiserbare. I generell signalteori bruker vi  gjerne begrepene kausale og ikke-kausale filtre og pulser i en slik diskusjon.

 

De pulser vi har definert her i oppgaven er i utgangspunktet tosidige. Hvordan kan de så brukes i numeriske beregninger?

 

Vi vil se at de kan brukes ved å tidsforsinke pulsene så mye at all energi blir tilgjengelig for positive verdier av tiden.  Denne tidsforsinkelsen kan legges inn i løsningen av bølgeligningen ved å legge forsinkelsen inn med prøving og feiling inntil man konstaterer at all pulsenergi er tilgjengelig for positv tid. Eller man kan bruke en såkalt Hilbert transformasjon. Da tar man utgangspunkt i en gitt dempning og bruker en relasjon mellom denne dempningen og mediets dispersjon. Da får vi en svært elegant anvendelse der man er sikker på å få en løsning ev bølgeligningen som ikke bare er i positiv tid, men også i minimumfase. (Minimumfase er forklart litt lenger ned i dette kapittel.) Vi henviser til en artikkel av Sørsdal for referanse til anvendelse av Hilbert-transformasjonen. ( ( http://bki.net/ricc/hilbert.html )

 

På fig.3.5 har vi skissert filterresponsen med en enhetspuls som inngang, med tilsvarende amplitydespekter. Effekten av filteret på enhetspulsen demper amplityden og  sprer energien ut på tidsaksen.

 

O´Doherty og Anstey (1971) peker på de to effektene som spiller inn på løsningen. Disse effektene er identiske med dempning og dispersjon som vi har behandlet for sinusbølger i avsnitt 3.6.

 

1. Pulsamplityden reduseres når de høye frekvensene dempes ut med tiden. Samtidig vil den spres over et større område som skissert på fig.3.3.

 

2. Pulsamplityden endrer form når de høye frekvensene dras mer ut i tiden enn de lave pga. dispersjon. (denne effekten er ikke tegnet inn på figuren).

 

Et studie av filterfunksjonen separat gir enkle uttrykk for dempning og dispersjon. Filteret er den ikke-forsinkede utgaven av h(s',t´) som vi har definert ved h(t, t´). Filterets representasjon i tiden med lign. 3.7.10 har vi kalt  filterets impulsrespons og den tilsvarende i frekvens med lign.3.7.11 kalles frekvensrepons. De samme effektene som virker inn på løsningen av bølgeligningen virker inn på filterets impuls og  frekvensrespons. Dempningen gir filteret en symmetrisk energifordeling om sitt senter, og dispersjonen gjør energifordelingen usymmetrisk.

 

Dispersjonseffekten kommer bare inn når vi forsinker filteret, da effekten virker i filterets faseledd. Filtre med dispersjon kalles gjerne dispersive filtre. På fig. 3.6. har vi tegnet den ikke-forsinkede og forsinkede utgaven av filterfunksjonen. Vi ser hvordan den varierer med tiden og hvor nødvendig det er å forsinke den for at den skal anvendes i reell tid. Selv om alle regneoperasjoner foregår for positive og negative tider, blir alle endelige resultater i reell tid.

 

For deltapulsen vil, når pulsen forplantes, den første effekter alene gi en symmetrisk energifordeling av signalet om sitt senter. Dette gjelder når A=1 i  løsningen av bølgeligningen 3.7.6. Dispersjonseffekten spiller inn når A er forskjellig fra 1 og gjør at energifordelingen blir usymmetrisk. Denne effekten vil vi se på fig. 3.7 der vi har skissert hvordan dempning og dispersjon virker inn på en Ricker-puls.

 

Fig.3.5 Impuls og frekvensrespons for filteret

 

 

 

Vi har nå fått et godt grunnlag for å forstå de problemer som  skal behandles senere i oppgaven. Her har vi problemene på den enkleste formen.

 

Dersom den forsinkede og ikke forsinkede filterfunksjonen har samme form sier vi at funksjonen er tidsinvariant. Dersom vi benytter bare den del av filteret som er definert for positive verdier sier vi at vi har et kausalt filter.

 

På fig.3.6. har vi tegnet impuls og spekter over et filter som tidsforsinker og demper pulsen. En reell løsning for positive ankomster er lagt inn i impulsresponsen fra fig.3.3 for en tidlig og en sen ankomst

 

 

Fig.3.6 Dempning av en enhetspuls som funksjon av tiden i et viskoelastisk media (under). Tilsvarende frekvensrespons øverst. Udempet puls har alle frekvenser med amplitude lik 1. Dempningen svekker amplitudene for økende frekvens.


 

 

Impulsresponsen til venstre er realisert med en enhetspuls med en bredde på t=0,004 s og gir en puls med en tidlig måling. Tilsvarende frekvensrespons (øverst) er dempet lineært  med økende frekvens. Impulsreponsen til høyre er en senere måling og er mer dempet enn den over. Vi ser at pulsen også endrer form ved at den dras ut på tidsaksen.

 

En pulsbredde på t=0,004 gir en samplingsfrekvens på 250 Hz. Dette gir en Nyquist-frekvens lik 125 Hz. Det er ikke aktuelt å studere frekvenser høyere enn Nyquist-frekvensen. Og i  denne oppgaven som vil være rettet inn mot seismikk  er det tilstrekkelig med et lavt frekvensområde.

 

En enhetspuls er ikke fysisk realiserbar for t≤0, så vi vil kun bruke initiale pulser som har tilstrekkelig tidsforsinkelse til at de er fysisk realiserbare. Vi ser videre  at de dempede pulsene har energi før ankomsten når de er tidsforsinkede. Dette viser at filteret vi bruker ikke er kausalt. Vårt filter har samme form som et  ideelt lavpassfilter, og det er en kjent sak at slike filtre ikke er kausale.

 

Vi bruker også andre begreper enn tosidige og ensidige operatorer for å beskrive løsningen av den sammensatte bølgeligningen. Et vanlig begrep er minimum fase begrepet.

 

En initial puls som er i minimum fase har energi konsentrert foran i pulsen. Filterfunksjonen kan også defineres ut fra minimum fase begrepet. Mange har diskutert filter fra dette synspunktet for eksempel Robinson(1967). Dette kan være  en regel vår dempningsmodell skal følge da både skuddpulsen og jordens dempning er i minimum fase i det reelle tilfellet. (Se Sherwood (1965)). I dag er null-fase pulser mye brukt. De har energi også før ankomsten og er dermed ikke fysisk realiserbare. Vi kan godt definere vår puls bare i positiv tid og det er også mulig å gjøre ikke-minimum fase pulser om til  minimum fase pulser. Dette har Clarke(1976) diskutert. Vår null-fase puls vil defineres både over positive og negative verdier siden dette forenkler våre beregninger og vi får derfor ikke fulgt denne regelen for denne pulsen.

 

På fig.3.7 har vi tegnet Rickerpulsen initielt (til venstre)  i nullfase. Dempningen på denne er beregnet ut fra modeller som vi definerer siden i denne oppgaven. Den beregnes på den måten at vi demper en enhetspuls og deretter konvolverer enhetspulsen med den initielle Rickerpulsen. Vi ser at den initielle Rickerpulsen er i null-fase, mens den dempede Rickerpulsen (til høyre) ikke er det. Dette indikerer at vi har brukt et filter på enhetspulsen som har dispersjon. Dette vil vi komme tilbake til i kapittel 7 når vi skal studere filterfunksjoner.

 

 

 

 

Fig.3.7 Dempning av en Rickerpuls i null-fase.

 

 

Øverst ser vi Rickerpulsen konvolvert med en enhetspuls og dempet med Q=21. Dempningen fjerner høye frekvenser slik at en dempet Rickerpuls ligner på en dempet deltapuls. Nederste graf viser frekvensene for den dempede Rickerpulsen.

 

 

Figur 3.7 viser at anvendelsen av Rickerpulsen med dempning gir frekvenstap, men vi ser at  høye frekvenser også fjernes når en Rickerpuls konvolveres med en enhetspuls som ikke er dempet. Det har en kan forklares ved at å konvolvere en Rickerpuls med en sekvens er analogt med å lavpass-filtrere sekvensen. Vi vil komme tilbake til dette når vi skal lage dekonvolveringsfilteret som vi har skissert under punkt 3.7.1.

 

 

3.9 SUMMERING AV KAPITTEL 3 OG KONKLUSJON

 

Vi har i dette kapittel laget det teoretiske grunnlaget for viskoelastisk bølgeforplantning der vi har utviklet en generell dempningsmodell. Valg av parameter i de enkelte dempningsmodeller som kan lages fra denne bestemmes ved å tilpasse det komplekse bølgetallet til  eksperimentelle data.

 

Denne fremgangsmåten gjelder både skjær og kompresjonsbølgen. Dempningsmekanismen i viskoelastiske media kaller vi absorpsjon og dispersjon. Vi har og definert seismiske pulser som initialbetingelser i bølgeligningen med innføring av begrepet minimum fase. Den sammensatte bølgeligningen er løst ved å innføre en filterfunksjon som kan knyttes til den generelle dempningsmodellen.

 

For at teorien skal kunne anvendes i seismikk må vi velge seismiske pulser og filterfunksjoner i minimum fase. Når dette ikke er mulig må tilnærmelser til minimum fase kravet finnes.

Vi har sett at det er mulig å generere ikke-minimumfase pulser og gjøre operatorer (og filtre)  fysisk realiserbare ved å innføre en tidsforsinkelse og denne tidsforsinkelsen kommer inn i løsningen av bølgeligningen. I et seismogram defineres tidsforsinkelsen som ankomster av en reflektert initial  puls. Vi har også vært inne på at vi kan bruke en relasjon mellom dempningen i løsningen av bølgeligningen og effekten av dispersjon som gjør at vi vil alltid få en minimumfase løsning av bølgeligningen. Da tar man utgangspunkt i en gitt dempning og bruker en relasjon mellom denne dempningen og mediets dispersjon. Da får vi en svært elegant anvendelse der man er sikker på å få en løsning ev bølgeligningen som ikke bare er i positiv tid, men også i minimumfase.

 

Vi avslutter dette kapittel ved å sette opp en rekke dempningsregler på grunnlag av den viskoelastiske teorien. I neste kapittel vil vi se at langt flere effekter enn viskoelastiske virker inn på den seismiske pulsen når den forplantes i seismiske media. I slutten av neste kapittel vil derfor nye dempningsregler legges til listen nedenfor.

 

1. Tilpasningen av attenuasjonskoeffisienten til seismiske data skal være riktig for

kompresjonsbølgen.

 

2. Tilpasningen av bølgetallet til seismiske data dvs. dispersjonsrelasjonen skal være riktig for kompresjonsbelgen.

 

3. Tilpasningen av attenuasjonskoeffisienten til seismiske data skal være riktig for

skjærbølgen.

 

4. Tilpasningen av bølgetallet til seismiske data dvs.dispersjonsrelasjonen skal være riktig for skjærbølgen.

 

5. Dempningsmodellenes filterfunksjon skal være i minimum fase. Dette er for å hindre en ikke-kausal løsning.

 

6. Initialbetingelsen skal være i minimum fase eller null fase.