KNUT SØRSDAL: VISKOLEASTISKE DEMPNINGSMODELLER I RICCATILIGNINGEN ANVENDT VED MARIN SEISMIKK

Hovedoppgave i mekanikk – anvendt matematikk - våren 1981 ved Universitetet i Oslo - (revidert versjon våren 2008)

Innledning

Denne oppgaven er et ledd i et arbeid ved geofysisk institutt om syntetisering og invertering av seismogram som ble utført i 1981. Mye av fremstillingen faller innenfor emnet signalteori og bølgelære. Målet med oppgaven er å undersøke hvordan Riccatiligningen kan inkludere absorpsjon når den anvendes i seismisk teori. Nilsen og Gjevik (1978) la grunnlaget for denne oppgaven ved å inkludere en absorpsjonsmodell i Riccatiligningen. Denne oppgaven bygger deres arbeid, men er ellers et helt selvstendig arbeid.

Oppgavens inndeling

Det er en todelt oppgave, med en teoretisk og en numerisk del. I den teoretiske delen studerer vi Riccatiligningen mens vi oppgir kilder som har gjort lignende studier. Store deler av den teoretiske delen kan leses som et studium i signalteori uavhengig av den praktiske delen som er anvendt for seismikk. Det er også deler av den praktiske delen som bare omhandler generell signalteori bl.a. kapittel 7.

Kapittel 3 gir en oversikt over generell dempningsteori. Kapittel 4 gir en utvidelse av denne teorien til seismisk teori der vi anvender Riccatiligningen. Kapittel 5 gir observasjoner av dempning fra havbunnen.

Parallelt med utviklingen av teorien har vi definert noe vi kaller dempningsregler. Disse reglene skal vi prøve å følge under den numeriske delen av oppgaven når teoriene skal prøves. En eventuell tilfredstillelse av disse reglene viser om dempningsteorien er god ved anvendelse av seismogram. Dempningsreglene er derfor en viktig del av oppgaven. Vi har delt de inn i to kategorier, den ene delen gjelder indre friksjon (viskoelastisk teori) og den andre gjelder regler i forbindelse med seismikk (seismisk teori).

Den numeriske delen av oppgaven dreier seg om tilpasningsprosessen. Vi innleder med kapittel 6 som gir en akustisk modell av havbunnen sammen med en oversikt over den numeriske delen av oppgaven.

Som for det teoretiske tilfellet begynner vi deretter tilpasningen på enkleste form med viskoelastisk teori.

Dette utvides til og med kapittel 9 der vi behandler seismiske media. Vi får på denne måten diskutert de fleste viktige dempningsregler i seismisk teori og undersøkt om Riccatiligningen følger disse.

I den numeriske delen av oppgaven definerer vi et inverst filter som fjerner den viskoelastiske dempningen. Filteret er laget på grunnlag av Wienerfiltre og inverse Q-filtre og anvendelsen av dette i Riccatiligningen har ikke vært gjort før. Teorien som legger opp til det inverse filteret har vi også utarbeidet selvstendig. I 2008 ble teorien om Q-filtering lagt til den originale utgaven av denne oppgaven og er en viktig del av denne reviderte versjonen. Inversjonen av Riccatiligningen der dempning fjernes ved Wienerfiltrering og invers Q-filtrering er derfor den viktigste delen av oppgaven.

Det siste kapitlet gir en tilpasning av Riccatiligningen til reelle data. Et sett refleksjonsdata fra en seismisk struktur er blitt invertert og studert fra dempningens synspunkt. En lignende analyse ble gjort av Nilsen og Gjevik i 1978. Her i oppgaven går vi nøyere inn på de faktorene som virker på seismogrammet i forbindelse med tilpasning til reelle data og vurderer betydningen av å fjerne dempningen i inversjonen.

1.2. Hovedspørsmålene i oppgaven

Vi stiller fire hovedspørsmål i oppgaven som vi prøver å besvare på bakgrunn av Riccatiligningens tilpasning til dempningsreglene. Vi vil oppgi disse spørsmålene innledningsvis og prøver å besvare dem etterhvert i den numeriske delen. En vurdering av dette er gjort i slutten av hvert kapittel.

1. På hvilken måte følger den generelle dempningsteorien de viskoelastiske dempningsreglene?

2. Dersom disse følges, hvordan fungerer utvidelsen av dempningsteorien, dvs. vil anvendelsen av dempningsteorien i Riccatiligningen (på enkleste form) innføre så mye feil at det er meningsløst for dempningsteorien å følge de viskoelastiske regler i denne utvidelsen?

3. Dersom også anvendelsen av dempningsteorien på Riccatiligningen går bra (på enkleste form) vil da et forsøk på å tilfredstille de seismiske dempningsreglene bli så problematisk at anvendelsen av Riccatiligningen med dempning i seismisk teori er meningsløst?

4. Når vi så anvender Riccatiligningen på reelle marin-seismiske data, vil vi da introdusere så mye feil at denne anvendelsen er meningsløs?

Oppgaven vil på denne måten få en god oppbygning. Vi begynner med den enkleste viskoelastiske dempningsteorien, utvider den til seismikk og videre til reell marin seismikk dersom denne utvidelsen er meningsfull. Grunnen til at oppgaven er blitt svært lang og omfattende er nettopp fordi hvert kapittel ga positive svar på spørsmålene over, slik at det var naturlig å utvide emnet helt til studie av marin-seismiske data.

Jeg vil takke professor Bjørn Gjevik ved matematisk institutt ved Universitetet i Oslo som ga veiledning og faglig hjelp slik at arbeidet med den originale versjonen av oppgaven fra 1981 kom i gang. Jeg vil også takke min medstudent på den tiden, Kai Hogstad for samarbeid om deler av oppgaven. For hjelp til denne reviderte versjonen i 2008 vil jeg takke professor Leiv-J. Gelius for veiledning og faglig bistand.

Universitetet i Oslo, mars 2008