3.8 FILTERFUNKSJONEN OG LØSNINGEN AV BØLGELIGNINGEN

Vi kan få et godt bilde av løsningen ved å studere filterfunksjonen separat. I teorien om den initiale skuddpulsen viste vi hvordan den kunne defineres både over positive og negative verdier. Dette gjelder også filterfunksjonen vi har definert ovenfor. Den kan betraktes som en operator definert i tid og i frekvens.

Vi skiller nå mellom to typer pulser og operatorer, ensidige og tosidige. Ensidige operatorer og pulser kalles de som bare er definert for positive verdier og er fysisk realiserbare.

Tosidige operatorer derimot er definert både for positive og negative verdier, og er ikke fysisk realiserbare. I generell signalteori bruker vi gjerne begrepene kausale og ikke-kausale filtre og pulser i en slik diskusjon.

Rickerpulsen 3.7.2 er ensidig da den ikke defineres initialt med energi før ankomsttid i seismiske beregninger. Men både deltapulsen og filterfunksjonen er som vi har definert her i oppgaven er i utgangspunktet tosidige. Hvordan kan de så brukes i numeriske beregninger?

Vi vil se at de kan brukes ved å tidsforsinke pulsene så mye at all energi blir tilgjengelig for positive verdier av tiden. Denne tidsforsinkelsen er lagt inn i løsningen av bølgeligningen.

På fig.3.3 har vi tegnet filterresponsen med en enhetspuls som inngang, med tilsvarende

amplitydespekter. Effekten av filteret på enhetspulsen demper amplityden og sprer energien ut på tidsaksen.

O´Doherty og Anstey (1971) peker på de to effektene som spiller inn på løsningen. Disse effektene er identiske med dempning og dispersjon som vi har behandlet for sinusbølger i avsnitt 3.6.

1. Pulsamplityden reduseres når de høye frekvensene dempes ut med tiden. Samtidig vil den spres over et større område som skissert på fig.3.3.

2. Pulsamplityden endrer form når de høye frekvensene dras mer ut i tiden enn de lave pga. dispersjon. (denne effekten er ikke tegnet inn på figuren).

Et studie av filterfunksjonen separat gir enkle uttrykk for dempning og dispersjon. Filteret er den ikke forsinkede utgaven av h(s',t´) som vi har definert ved h(t, t´). Filterets representasjon i tiden med lign. 3.7.10 har vi kalt filterets impulsrespons og den tilsvarende i frekvens med lign.3.7.11 kalles frekvensrepons. De samme effektene som virker inn på løsningen av bølgeligningen virker inn på filterets impuls og frekvensrespons. Dempningen gir filteret en symmetrisk energifordeling om sitt senter, og dispersjonen gjør energifordelingen usymmetrisk.

Dispersjonseffekten kommer bare inn når vi forsinker filteret, da effekten virker i filterets faseledd. Filtre med dispersjon kalles gjerne dispersive filtre. På fig. 3.3. har vi tegnet den ikke-forsinkede og forsinkede utgaven av filterfunksjonen. Vi ser hvordan den varierer med tiden og hvor nødvendig det er å forsinke den for at den skal anvendes i reell tid. Selv om alle regneoperasjoner foregår for positive og negative tider, blir alle endelige resultater i reell tid.

For deltapulsen vil, når pulsen forplantes, den første effekter alene gi en symmetrisk energifordeling av signalet om sitt senter. Dette gjelder når A=1 i løsningen av bølgeligningen 3.7.6. Dispersjonseffekten spiller inn når A er forskjellig fra 1 og gjør at energifordelingen blir usymmetrisk. Vi har ikke tegnet inn den siste effekten på figuren.

Fig.3.5 Impuls og frekvensrespons for filteret

Fig.3.3 gir et godt grunnlag for å forstå de problemer som skal behandles senere i oppgaven. Her har vi problemene på den enkleste formen.

Dersom den forsinkede og ikke forsinkede filterfunksjonen har samme form sier vi at funksjonen er tidsinvariant. Dersom vi benytter bare den del av filteret som er definert for positive verdier sier vi at vi har et kausalt filter.

På fig.3.4. har vi tegnet impuls og spekter over et filter som tidsforsinker og demper pulsen. En reell løsning for positive ankomster er lagt inn i impulsresponsen fra fig.3.3 for en tidlig og en sen ankomst

Fig.3.6 Dempning av en enhetspuls (en tilnærmet deltapuls) som funksjon av tiden i et viskoelastisk media til høyre. Tilsvarende frekvensrespons til venstre – dvs. amplituden på bølger for ulike frekvenser. Udempet puls har alle frekvenser med amplitude lik 1. Dempningen svekker amplitudene for økende frekvens. Dempet 1 tilsvarer første puls til høyre og dempet 2 pulsen under.

Impulsresponsen øverst er realisert med en enhetspuls med en bredde på t=0,004 s og gir en puls med en tidlig måling. Tilsvarende frekvensrespons er dempet lineært med økende frekvens. Impulsreponsen under er en senere måling og er mer dempet enn den over. Vi ser at pulsen også endrer form ved at den dras ut på tidsaksen.

En pulsbredde på t=0,004 gir en samplingsfrekvens på 250 Hz. Dette gir en Nyquist-frekvens lik 125 Hz. Det er ikke aktuelt å studere frekvenser høyere enn Nyquist-frekvensen. Og i denne oppgaven som videre vil være rettet inn mot seismikk er det tilstrekkelig med et lavt frekvensområde.

En enhetspuls er ikke fysisk realiserbar for t≤0, så vi vil kun bruke initiale pulser som har tilstrekkelig tidsforsinkelse til at de er fysisk realiserbare. Vi ser videre at de dempede pulsene har energi før ankomsten når de er tidsforsinkede. Dette viser at filteret vi bruker ikke er kausalt. Vårt filter har samme form som et ideelt lavpassfilter, og det er en kjent sak at slike filtre ikke er kausale.

Vi bruker også andre begreper enn tosidige og ensidige operatorer for å beskrive løsningen av den sammensatte bølgeligningen. Et vanlig begrep er minimum fase begrepet.

En initial puls som er i minimum fase har energi konsentrert foran i pulsen. Filterfunksjonen kan også defineres ut fra minimum fase begrepet. Mange har diskutert filter fra dette synspunktet for eksempel Robinson(1967). Dette kan være en regel vår dempningsmodell skal følge da både skuddpulsen og jordens dempning er i minimum fase i det reelle tilfellet. (Se Sherwood (1965)). I dag er null-fase pulser mye brukt. De har energi også før ankomsten og er dermed ikke fysisk realiserbare. Vi kan godt definere vår puls bare i positiv tid og i minimum fase. Dette har Clarke(1976) diskutert. Vår null-fase puls vil defineres både over positive og negative verdier siden dette forenkler våre beregninger og vi får derfor ikke fulgt denne regelen.

På fig.3.5 har vi tegnet Rickerpulsen initielt (til venstre) i nullfase. Den beregnes på den måten at vi demper en enhetspuls og deretter konvolverer enhetspulsen med den initielle Rickerpulsen. Vi ser at den initielle Rickerpulsen er i null-fase, mens den dempede Rickerpulsen (til høyre) ikke er det. Dette indikerer at vi har brukt et filter på enhetspulsen som har dispersjon. Dette vil vi komme tilbake til i kapittel 7 når vi skal studere filterfunksjoner.

Fig.3.7 Dempning av en Rickerpuls i null-fase.

Øverst ser vi Rickerpulsen konvolvert med en enhetspuls og dempet med Q=21. Dempningen fjerner høye frekvenser slik at en dempet Rickerpuls ligner på en dempet deltapuls. Nederste graf viser frekvensene for den dempede Rickerpulsen.

Figur 3.7 viser at anvendelsen av Rickerpulsen med dempning gir frekvenstap, men vi ser at høye frekvenser også fjernes når en Rickerpuls konvolveres med en enhetspul som ikke er dempet dempning. Det ser vi også av utrykket 3.7.1 c og figur 3.4 a som viser at å anvende en Rickerpuls på en sekvens er analogt med å lavpass-filtrere sekvensen. Den viskoelastiske dempningen gjør det samme, men den øker med pulsens forsinkelse (eller ankomsten i seismikk). Vi vil komme tilbake til dette når vi skal lage dekonvolveringsfilteret som vi har skissert under punkt 3.7.1.