3.7 DEMPNING AV SAMMENSATTE BØLGER - INITIALBETINGELSE.

Vi har hittil studert sinusformede bølger i viskoelastiske media og funnet at vi får en eksponensiell demping av bølgekomponentene. Ved teoretiske studier av seismisk bølgeforplantning har man benyttet pulser som er sammensatt av flere Fourierkomponenter som korresponderer med løsningen av bevegelsesligningene i viskoelastiske media. Problemet blir da det velkjente initialverdiproblemet med bølgeligningen som flere forfattere har løst ved Fourieranalyse.

Vi vil nå følge Kogans (1961) fremstilling noe modifisert. Han tenker seg den seismiske pulsen som en funksjon u(x,t) som karakteriserer det seismiske signalet i en avstand x (observasjonspunktet) fra pulsens utgangspunkt (skuddpunktet). Vi kaller pulsen i skuddpunktet u(0,t). Denne pulsen er viktig i seismisk teori og kalles en initial skuddpuls. Den kan være definert over både positive og negative verdier, men dersom den skal være fysisk realiserbar må den bare defineres for positive verdier. Vi vil diskutere dette litt senere.

I denne oppgaven vil vi definere og benytte 2 pulstyper. Den første kalles en deltapuls og den andre en Rickerpuls i null fase. Teorien om deltapulsen tar vi fra Waters.

3.7.1 Deltapuls

Deltapulsen kan betraktes som grensen til en rektangulær puls i tiden, der funksjonen har en konstant amplitude over et tidsområde (bredden) , når produktet av amplituden og tidsområdet holdes konstant mens tidsområdet krympes til en infinitesimal verdi. Fordelen med denne pulsen er at vi får alle frekvenser representert i en løsning. I matematiske termer (for en impuls ved tiden t = τ ) får vi:

deltapuls 3.7.1.a

Enhetspulsen er en realistisk modell av deltapulsen med amplitude lik 1. Den har energien symmetrisk fordelt om t=0, som vi definerer som pulssenteret. Denne pulsen vil være sammensatt av et uendelig antall Fourierkomponenter med samme amplitude.

Deltapulsen kan også betraktes som grensen til ”error-funksjonen”:

3.7.1 b

Når h går mot null.

Fig.3.3 Deltapuls

På fig.3.3.ser vi deltapulsen for ulike bredder. Vi ser at rektangelets flate er konstant mens pulshøyde og bredde varierer.

På figur 3.4. viser en fremstilling av deltapulsen basert på errorfunsjonen for ulike verdier av h når h går mot null.

En tredje – og svært nyttig i seismikk - betraktning av deltapulsen er å se på dens frekvensinnhold av infinitesimalt små, men konstante amplituder av alle frekvenser. Waters har regnet ut dens tidsrepresentasjon som en (sin x)/x – type funksjon av formen:

3.7.1 c

Der f(t) vil, etter som w_o går mot uendelig , gradvis gå mot en impuls av formen 3.7.1 a . Slik kan man se på deltafunksjonen som en puls som har lik amplitude for alle frekvenser. Grunnen til at dette er så nyttig er at deltapulsen kan brukes til å finne karakteristikken til jordens impulsrepons dersom input pulsen inneholder alle frekvenser med samme styrke. Avvik fra denne antagelse i målinger kan senere korrigeres for ved filtrering for å finne tilbake til det vi vet er input-pulsen gjennom dekonvolusjon. Deltapulsen ved denne tilnærming er skissert på figur. 3.4.c og d.

Fig.3.4. Tilnærming til deltafunksjonen ut fra et konstant amplitudespekter opp til en frekvens w_o