3.7.3 Løsning for sammensatt bølge

 

Løsningen u(x,t) for den sammensatte bølgen får man ved å superponere uendelig mange Fourierkomponenter av typen 3.6.1.Vi begynner da med å Fouriertransformere initialbetingelsen u(0,t):

 

                                                                                                       3.7.3

Her har vi et utrykk for alle Fourierkomponentene i skuddpunktet. Når pulsen brer seg utover i forplantningsretningen vil hver amplitude dempes pga. indre friksjon, og ved å regne at all den initielle energien går til høyre for skuddpunktet får vi når vi integrerer komponentene over alle frekvenser:

 

                                                                   3.7.4

 

Det er vanlig å transformere dette utrykket over i tiden ved relasjonen x=ct´ der t´  er tiden fra skuddpunktet til pulsens ankomst i observasjonspunktet. Når vi setter inn for αr og αi  fra 1ign.3.5.9-10 i lign.3.7.3-4, og dersom c=co , får vi:

 

                                                           3.7.5                                                   

 

Ved å velge den elastiske hastigheten c0 som basis ved konvertering til tiden, får man en økende hastighet på alle Fourierkomponenter ved dempningsmodellens fasehastighetsrelasjon lign.3.5.11  i tilfelle av dempning.

 

 

Det andre integralet er en løsning av bølgeligningen i frekvensområdet og vi kan kalle den en frekvensrespons.Hele utrykket kan tolkes som en impulsrespons. Impulsresponsen kan gis en annen form ved å sette 3.7.3 inn i 3.7.5 og løse integralet ved konvolvering .Vi får da dersom A(w)=1:

 

                                                 3.7.6

to´ er pulsens initielle bredde for positive tider og to´ dens initielle bredde for negative tider. t´ gir den initielle pulsens ankomsttid slik vi har definert foran. Vi har uttrykt pulsens forplantning i mediet ved forsinkelsen t-s´ i faseleddet. I vårt tilfelle der A(w)=1 blir denne forsinkelsen lik for alle Fourierkomponenter og vi får en symmetrisk energifordeling om ankomsttiden i den observerte pulsen

 

Dersom A(w) ≠1 blir energifordelingen usymmetrisk og vi kan ikke tale om en veldefinert ankomstid for pulsen. I dette tilfellet vil fasehastigheten variere med frekvensen. Impulsresponsen må da finnes ved numerisk integrasjon av formel 3.7.5

 

En svært enkel løsning får vi ved å innføre en filterfunksjon som den Fouriertransformerte i  konvolveringsintegralet. Vi får da:

 

                                                                                            3.7.7

 

Vi har her en filterfunksjon h(s`,t`) som skal konvolveres med initialbetingelsen u(0,t). Filterfunksjonen er en tidsforsinket utgave av et tidsvarierende filter h(t,t´). Hver verdi t´ i 1ign.3.7.7. gir en løsning av bølgeligningen. Konvolveringen er uavhengig av t´ da denne

regnes konstant under konvolveringen. Vi kan også skrive uttrykket 3.7.7 på formen:

 

 

u(s´, t´) = u(0, t) h(s´, t´)                                                                                                          3.7.8

 

Dersom initialbetingelsen er en enhetspuls får vi enkle uttrykk for løsningen av bølgeligningen. Enhetspulsen har energien symmetrisk fordelt om skuddpunktet i en bredde t0.

 

Vi får da:

 

                                                                                      3.7.9

 

Dersom initialbetingelsen er en deltapuls får vi en løsning som er identisk med den forsinkede filterfunksjonen. Pulsens forplantning gjennom mediet uttrykkes da ved filterets tidsforsinkede impulsrespons:

 

u(s´, t´) =  h(s´, t´)                                                                                                                   3.7.10

 

Filterets frekvensrespons finner vi fra lign.3.7.5:

 

                                                                                 3.7.11

 

Vi ser nå at vi kan kalle 3.7.10  et definert filters impulsrespons og 3.7.11 er filterets  frekvensrespons. Begge uttrykkene kan betegnes ved filterresponsen. I teorien

benyttes de samme definisjonene med en deltapuls som initialbetingelse. Begge utrykkene gir løsningen av bølgeligningen som en funksjon av tid og frekvens og de har energien fordelt både over positive og negative verdier.