3.6 Dempning og dispersjon av en bølgekomponent

Løsningene 3.4.7 og 3.4.12 av bevegelsesligningene i viskoelastiske media er begge av formen:

3.6.1

der er attenuasjonskoeffisienten og er bølgetallet. Vi kaller dette utrykket en Fourierkomponent, der hver komponent representerer en bølge som beveger seg i et viskoelastisk medium. Første eksponensial på høyre side i 3.6.1 kalles bølgens amplityde og den andre kalles bølgens fase. I sin teori har Bland formulert to prinsipper som gjelder bølger av denne formen (sinusformede bølger) i viskoelastiske media.

1. I alle viskoelastiske media unntatt i helt elastiske media vil sinusformede kompresjonsbølger være dispersive og dissipative og attenuasjonen varierer med frekvensen.
2. I alle viskoelastiske media unntatt i de som har en elastisk spenning-forrykningsrelasjon i skjærleddene vil sinusformede skjærbølger være dispersive og dissipative og attenuasjonen varierer med frekvensen.

Den fysikalske betydningen av disse prinsippene kan anskueliggjøres ved å betrakte sinusbølger som går inn i et stort homogent volum av f.eks. fjell. Dersom vi studerer mønsteret fra partikkelforrykningene i et tidspunkt vil vi se en følge av alternerende kompresjoner og fortynninger, der avstanden mellom kompresjonene er en bølgelengde. Kompresjonen avtar fra bølgelengde til bølgelengde pga. dissipasjon, dvs. bølgeamplityden dempes.

At bølgene også er dispersive betyr at de ulike bølgelengder beveger seg med forskjellig hastighet. Den fysikalske betydningen av dette er en fasehastighet avhengig av frekvensen. Dempning og dispersjon er de to effektene som virker inn på bølger i viskoelastiske media, og vi vil få en klarere forståelse av begge effektene videre i denne oppgaven.

Før bølgeteorien utvikles videre, vil vi gi en oversikt over vanlige måter å angi dempning på. Den kan angis på flere måter. Waters (1978) gir en god oversikt. Dersom vi kaller forholdet mellom en dempet og en udempet amplityde i ligning 3.6.1 k, vil dempningen i Desibel (dB) kunne defineres ved:

20 log k = dempning i dB 3.6.2

I ligning 3.5.3 blir attenuasjonskoeffisienten dimensjonert til nepers/lengdeenhet. Dette er ofte gitt som mål for dempning i litteraturen. Sammenhengen mellom nepers og dB er gitt ved:

DB = 8.686 nepers 3.6.3

Vi kan også definere dempning over en bølgelengde. Vi har da en amplityde fra ligning 3.6.1:

dersom vi tar den naturlige logaritmen til forholdet mellom forrykningsamplitydene i en bølgelengdes avstand har vi:

3.6.4

Dette utrykket gir dempningen over en bølgelengde og kalles også det logaritmiske dekrementet. Dette er et svært vanlig mål for dempningen.

Et viktig spesialtilfelle av dempning er at attenuasjonskoeffisienten øker lineært med frekvensen. Dette gjelder nesten alltid i seismiske media. Vi har da en amplityde lik:

3.6.5

der . Sammenhengen mellom og det logaritmiske dekrementet ha vi ved og siden har vi . I dette tilfellet er derfor det logaritmiske dekrementet konstant dersom fasehastigheten er konstant. Ved å transformere amplityden over i tiden ved relasjonen x=ct får vi amplityden:

3.6.6

Flere forfattere knytter det logaritmiske dekrementet til en Q-faktor som er et nytt mål for dissipasjonen over en bølgelengde ved formelen:

Dette kan gjøres for alle bølger av formen 3.6.1.

I fig. 3.2 har vi plottet en løsning av 3.6.1 med et konstant logaritmisk dekrement for to forskjellige frekvenser. Vi ser at når frekvensen av bølgen øker dvs. Bølgelengden avtar fra til vil dempningen over lengdeenheten øke, mens dempningen over bølgelengden er konstant. Dette er et spesialtilfelle av bølgeforplantning som faller inn under Blands prinsipper. Denne oversikten over dempningangivelse er tatt med fordi det er helt nødvendig med sikker kjennskap til disse tingene når man skal tilpasse modeller til eksperimentelle data.