I dette kapittelet vil vi studere hvordan viskoelastiske absorpsjonseffekter kan inkluderes i bevegelsesligningene for et elastisk medium og utvikle en generell teori om bølgeforplantning i viskoelatiske media. Senere i oppgaven vil vi gå fra generelle til spesielle modeller som tilpasses reelle data for absorpsjonseffekter.

I ideale elastiske media følger spenning og forrykning Hookes lov. Dersom virkelige media settes i vibrasjoner ved at lydbølger går gjennom dem, vil derimot noe av den elastiske energien fra spenningkreftenes arbeid overføres til varme ved dissipasjon, og Hookes lov gjelder ikke lenger. I væsker og gasser skjer denne overføringen av energi (absorpsjon) ved viskositet og ved termiske effekter pga. kompresjon i mediet, mens den er betydelig mer komplisert i faste stoffer. Vi kaller prosessen i faste stoffer indre friksjon.

I for eksempel sediment eller sand kommer den vesentligste del av absorpsjonen av at de små sand eller sedimentpartiklene gnis frem og tilbake mot hverandre og utvikler varme ved friksjon (makroskopiske absorpsjonseffekter), og fra mikroskopiske effekter som absorpsjon i hver enkelt partikkel pga. dislokasjoner i krystallstrukturen.

Det har lenger vært kjent at porøsitet i mediet virker inn på absorpsjonen. Dersom porene i mediet er fylt med vann er absorpsjonen minimal, mens den er maksimal ved et vanninnhold på 50-60 %. Vannet kan også gi frekvensavhengig dempning. Vannet nedsetter friksjonen som olje gjør det i kulelagre for noen frekvenser av den innsendte bølgen, mens for andre frekvenser vil den gi et tillegg i absorpsjonen pga. skvalpefenomener (sloshing effects) og viskositet mellom vannet og det faste mediet.

Trykket i mediet vil også virke inn på absorpsjonen. Trykket vil presse partiklene i mediet hardere sammen, slik at bølgene ikke setter dem i så stor bevegelse.

3.2 Definisjon av det elastiske problemet og korrespondanseprinsippet.

Vi vil nå finne bevegelsesligningene for et isotropt viskoelastisk medie utrykt ved partikkelforrykningene, og se at løsningene av disse blir to bølger som går gjennom mediet. De kalles kompresjonbølger og skjærbølger.

I det elastiske tilfellet er bevegelsesligningene løst f. eks. Av Kolsky (1963), mens Bland (1960) har løst det viskoelastiske tilfellet ved å benytte et korrespondanse prinsipp.

Dersom man har løst det elalstiske problemet, kan man finne det viskoelastiske ved å Fouriertransformere de elastiske spennings og forrykningsrelasjonene og bevegelsesligningene, erstatte de elastisk parametrene med viskoelastiske (komplekse) parametre, løse bevegelsesligningene og invertere de fouriertransformerte ligningene.

Vi definerer det elstiske problemet ved å la 9 spenningskomponenter virke på et infinitesimalt rektangulært paralellepiped, som vist på fig. 3.1.

Fig.3.1

Vi innfører så tensornotasjon for spenningskomponentene der _i er planet der spenningen virker og _j er retningen av spenningen. Partikkelforrykningen utrykkes ved =(x1,x2,x3) der x1,x2 og x3 er aksekoordinatene i paralellepipedet.

I det elastiske tilfellet løser man problemet ved ligningene:

3.2.1

3.2.2

3.2.3

derivasjoner er definert ved 3.2.4

kalles kompresjonsmodul, kalles skjærmodul, er tettheten og kalles dilitasjonen.

Vi går så over til det viskoelastiske problemet: